题目
三、应用题(本大题共2小题,每小题20分,共40分)-|||-26.把长为a的铁丝剪成两段,一段做成等边三角形,另一段作成正方形,应如何剪法才能使三角形和-|||-正方形面积之和最小?
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义变量
设铁丝剪成两段，一段长度为 \(x\)，用于制作等边三角形，另一段长度为 \(a-x\)，用于制作正方形。
步骤 2：计算等边三角形的面积
等边三角形的边长为 \(\frac{x}{3}\)，其面积 \(S_{\triangle}\) 可以用公式 \(S_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{边长})^2\) 计算，因此
\[S_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left(\frac{x}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{x^2}{9} = \frac{\sqrt{3}x^2}{36}\]
步骤 3：计算正方形的面积
正方形的边长为 \(\frac{a-x}{4}\)，其面积 \(S_{\square}\) 可以用公式 \(S_{\square} = (\text{边长})^2\) 计算，因此
\[S_{\square} = \left(\frac{a-x}{4}\right)^2 = \frac{(a-x)^2}{16}\]
步骤 4：求面积之和的最小值
面积之和 \(S\) 为等边三角形面积和正方形面积之和，即
\[S = S_{\triangle} + S_{\square} = \frac{\sqrt{3}x^2}{36} + \frac{(a-x)^2}{16}\]
为了求 \(S\) 的最小值，对 \(S\) 关于 \(x\) 求导，并令导数等于0，解出 \(x\) 的值。
\[S' = \frac{2\sqrt{3}x}{36} - \frac{2(a-x)}{16} = 0\]
\[S' = \frac{\sqrt{3}x}{18} - \frac{a-x}{8} = 0\]
\[8\sqrt{3}x = 18(a-x)\]
\[8\sqrt{3}x + 18x = 18a\]
\[x(8\sqrt{3} + 18) = 18a\]
\[x = \frac{18a}{8\sqrt{3} + 18}\]
\[x = \frac{18a}{2(4\sqrt{3} + 9)}\]
\[x = \frac{9a}{4\sqrt{3} + 9}\]
\[x = \frac{9a(4\sqrt{3} - 9)}{(4\sqrt{3} + 9)(4\sqrt{3} - 9)}\]
\[x = \frac{9a(4\sqrt{3} - 9)}{48 - 81}\]
\[x = \frac{9a(4\sqrt{3} - 9)}{-33}\]
\[x = \frac{9a(9 - 4\sqrt{3})}{33}\]
\[x = \frac{3a(9 - 4\sqrt{3})}{11}\]
\[x = \frac{27a - 12\sqrt{3}a}{11}\]
\[x = \frac{27 - 12\sqrt{3}}{11}a\]
步骤 5：验证 \(x\) 的值
将 \(x = \frac{27 - 12\sqrt{3}}{11}a\) 代入 \(S\) 的表达式中，验证 \(S\) 是否取得最小值。由于 \(S\) 是一个二次函数，且二次项系数为正，因此 \(S\) 在 \(x = \frac{27 - 12\sqrt{3}}{11}a\) 时取得最小值。
设铁丝剪成两段，一段长度为 \(x\)，用于制作等边三角形，另一段长度为 \(a-x\)，用于制作正方形。
步骤 2：计算等边三角形的面积
等边三角形的边长为 \(\frac{x}{3}\)，其面积 \(S_{\triangle}\) 可以用公式 \(S_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\text{边长})^2\) 计算，因此
\[S_{\triangle} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left(\frac{x}{3}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{x^2}{9} = \frac{\sqrt{3}x^2}{36}\]
步骤 3：计算正方形的面积
正方形的边长为 \(\frac{a-x}{4}\)，其面积 \(S_{\square}\) 可以用公式 \(S_{\square} = (\text{边长})^2\) 计算，因此
\[S_{\square} = \left(\frac{a-x}{4}\right)^2 = \frac{(a-x)^2}{16}\]
步骤 4：求面积之和的最小值
面积之和 \(S\) 为等边三角形面积和正方形面积之和，即
\[S = S_{\triangle} + S_{\square} = \frac{\sqrt{3}x^2}{36} + \frac{(a-x)^2}{16}\]
为了求 \(S\) 的最小值，对 \(S\) 关于 \(x\) 求导，并令导数等于0，解出 \(x\) 的值。
\[S' = \frac{2\sqrt{3}x}{36} - \frac{2(a-x)}{16} = 0\]
\[S' = \frac{\sqrt{3}x}{18} - \frac{a-x}{8} = 0\]
\[8\sqrt{3}x = 18(a-x)\]
\[8\sqrt{3}x + 18x = 18a\]
\[x(8\sqrt{3} + 18) = 18a\]
\[x = \frac{18a}{8\sqrt{3} + 18}\]
\[x = \frac{18a}{2(4\sqrt{3} + 9)}\]
\[x = \frac{9a}{4\sqrt{3} + 9}\]
\[x = \frac{9a(4\sqrt{3} - 9)}{(4\sqrt{3} + 9)(4\sqrt{3} - 9)}\]
\[x = \frac{9a(4\sqrt{3} - 9)}{48 - 81}\]
\[x = \frac{9a(4\sqrt{3} - 9)}{-33}\]
\[x = \frac{9a(9 - 4\sqrt{3})}{33}\]
\[x = \frac{3a(9 - 4\sqrt{3})}{11}\]
\[x = \frac{27a - 12\sqrt{3}a}{11}\]
\[x = \frac{27 - 12\sqrt{3}}{11}a\]
步骤 5：验证 \(x\) 的值
将 \(x = \frac{27 - 12\sqrt{3}}{11}a\) 代入 \(S\) 的表达式中，验证 \(S\) 是否取得最小值。由于 \(S\) 是一个二次函数，且二次项系数为正，因此 \(S\) 在 \(x = \frac{27 - 12\sqrt{3}}{11}a\) 时取得最小值。