题目
3.利用极坐标计算下列二重积分:-|||-(1) iint sqrt ({x)^2+(y)^2}dtheta D是由 ^2+(y)^2=1 围成的区域;-|||-(2) iint sqrt (4-{x)^2-(y)^2}dtheta D是由 ^2+(y)^2=4 围成的区域,且 geqslant 0 geqslant 0 ;-|||-(3) iint ((x)^2+(y)^2)db D是由 ^2+(y)^2-2x=0(ygeqslant 0) 与x轴所围成的区域.-|||-b
题目解答
答案
解析
(1) 步骤 1：转换为极坐标
将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分。在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$d\sigma = r dr d\theta$。因此，$\sqrt{x^2 + y^2} = r$。
步骤 2：确定积分区域
积分区域D是由$x^2 + y^2 = 1$围成的区域，即$r$的范围是$0$到$1$，$\theta$的范围是$0$到$2\pi$。
步骤 3：计算二重积分
将转换后的积分表达式代入并计算。
(2) 步骤 1：转换为极坐标
将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分。在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$d\sigma = r dr d\theta$。因此，$\sqrt{4 - x^2 - y^2} = \sqrt{4 - r^2}$。
步骤 2：确定积分区域
积分区域D是由$x^2 + y^2 = 4$围成的区域，且$x \geqslant 0$，$y \geqslant 0$，即$r$的范围是$0$到$2$，$\theta$的范围是$0$到$\frac{\pi}{2}$。
步骤 3：计算二重积分
将转换后的积分表达式代入并计算。
(3) 步骤 1：转换为极坐标
将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分。在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$d\sigma = r dr d\theta$。因此，$x^2 + y^2 = r^2$。
步骤 2：确定积分区域
积分区域D是由$x^2 + y^2 - 2x = 0$围成的区域，且$y \geqslant 0$，即$r$的范围是$0$到$2\cos\theta$，$\theta$的范围是$0$到$\frac{\pi}{2}$。
步骤 3：计算二重积分
将转换后的积分表达式代入并计算。
将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分。在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$d\sigma = r dr d\theta$。因此，$\sqrt{x^2 + y^2} = r$。
步骤 2：确定积分区域
积分区域D是由$x^2 + y^2 = 1$围成的区域，即$r$的范围是$0$到$1$，$\theta$的范围是$0$到$2\pi$。
步骤 3：计算二重积分
将转换后的积分表达式代入并计算。
(2) 步骤 1：转换为极坐标
将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分。在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$d\sigma = r dr d\theta$。因此，$\sqrt{4 - x^2 - y^2} = \sqrt{4 - r^2}$。
步骤 2：确定积分区域
积分区域D是由$x^2 + y^2 = 4$围成的区域，且$x \geqslant 0$，$y \geqslant 0$，即$r$的范围是$0$到$2$，$\theta$的范围是$0$到$\frac{\pi}{2}$。
步骤 3：计算二重积分
将转换后的积分表达式代入并计算。
(3) 步骤 1：转换为极坐标
将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分。在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$d\sigma = r dr d\theta$。因此，$x^2 + y^2 = r^2$。
步骤 2：确定积分区域
积分区域D是由$x^2 + y^2 - 2x = 0$围成的区域，且$y \geqslant 0$，即$r$的范围是$0$到$2\cos\theta$，$\theta$的范围是$0$到$\frac{\pi}{2}$。
步骤 3：计算二重积分
将转换后的积分表达式代入并计算。