5、设级数sum_(n=1)^inftyu_(n)收敛，则下列级数必收敛的是（）.(A）sum_(n=1)^infty(-1)^nu_(n) (B）sum_(n=1)^inftyu_(n)^2 (C）sum_(n=1)^infty(u_(2n-1)-u_(2n)) (D）sum_(n=1)^infty(u_(n)+u_(n+1))
题目解答
答案
已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛。我们需要判断四个选项中哪个级数必定收敛。
已知条件 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，意味着其部分和序列 $S_n = \sum_{k=1}^{n} u_k$ 存在极限，即 $\lim_{n \to \infty} S_n = S$（$S$ 为有限常数）。同时，由级数收敛的必要条件可知，$\lim_{n \to \infty} u_n = 0$。
我们逐一分析各个选项：
对于选项 (A) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n u_n$：
我们可以构造一个反例。令 $u_n = \frac{(-1)^n}{n}$。
此时，原级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ 是一个交错级数，根据莱布尼茨判别法，它是收敛的。
但是，代入选项 (A) 得到 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n u_n = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{(-1)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$。
这是调和级数，它是发散的。因此，选项 (A) 不一定收敛。
对于选项 (B) $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$：
同样构造反例。令 $u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$。
原级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 是交错级数，满足莱布尼茨判别法，因此收敛。
代入选项 (B) 得到 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\right)^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$。
这又是调和级数，它是发散的。因此，选项 (B) 不一定收敛。
对于选项 (C) $\sum_{n=1}^{\infty} (u_{2n-1} - u_{2n})$：
构造反例。令 $u_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n}$。
原级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$ 是交错级数，收敛。
代入选项 (C) 得到 $\sum_{n=1}^{\infty} (u_{2n-1} - u_{2n})$。
其中 $u_{2n-1} = \frac{(-1)^{2n-2}}{2n-1} = \frac{1}{2n-1}$，$u_{2n} = \frac{(-1)^{2n-1}}{2n} = -\frac{1}{2n}$。
所以 $u_{2n-1} - u_{2n} = \frac{1}{2n-1} - \left(-\frac{1}{2n}\right) = \frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n}$。
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2n-1} + \frac{1}{2n}\right)$ 的通项等价于 $\frac{1}{n}$，根据比较判别法，该级数发散。因此，选项 (C) 不一定收敛。
对于选项 (D) $\sum_{n=1}^{\infty} (u_n + u_{n+1})$：
我们来考察该级数的部分和序列。设 $T_N = \sum_{n=1}^{N} (u_n + u_{n+1})$。
展开这个和式：
$T_N = (u_1 + u_2) + (u_2 + u_3) + (u_3 + u_4) + \cdots + (u_N + u_{N+1})$
$T_N = u_1 + 2u_2 + 2u_3 + \cdots + 2u_N + u_{N+1}$
$T_N = 2(u_1 + u_2 + \cdots + u_N) - u_1 + u_{N+1}$
$T_N = 2S_N - u_1 + u_{N+1}$
已知 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛，即 $\lim_{n \to \infty} S_n = S$ 存在且有限。
同时，由级数收敛的必要条件知 $\lim_{n \to \infty} u_{n+1} = 0$。
因此，$\lim_{N \to \infty} T_N = \lim_{N \to \infty} (2S_N - u_1 + u_{N+1}) = 2S - u_1 + 0 = 2S - u_1$。
因为极限存在且为有限值，所以级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (u_n + u_{n+1})$ 必定收敛。
综上所述，必收敛的级数是选项 (D)。
解析
本题考查级数收敛的性质及判别方法。解题思路是根据已知级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛，利用级数收敛的必要条件$\lim_{n \to \infty}u_{n}=0$以及部分和序列的极限来判断各个选项中级数的敛散性。对于选项（A）、（B）、（C），通过构造反例来证明其不一定收敛；对于选项（D），通过分析其部分和序列的极限来证明其必定收敛。
选项（A）$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}$
构造反例，令$u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}$。
- 原级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}$，根据莱布尼茨判别法，$\left\{\frac{1}{n}\right\}$单调递减且$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0$，所以$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}$收敛。
- 而$\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}u_{n}=\sum_{n = 1}^{\infty}(-1)^{n}\cdot\frac{(-1)^{n}}{n}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$，调和级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，所以选项（A）不一定收敛。
选项（B）$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}^{2}$
构造反例，令$u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$。
- 原级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$，因为$\left\{\frac{1}{\sqrt{n}}\right\}$单调递减且$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0$，根据莱布尼茨判别法，$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}$收敛。
- 但$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}^{2}=\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}\right)^{2}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$，调和级数$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$发散，所以选项（B）不一定收敛。
选项（C）$\sum_{n = 1}^{\infty}(u_{2n - 1}-u_{2n})$
构造反例，令$u_{n}=\frac{(-1)^{n - 1}}{n}$。
- 原级数$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}}{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots$，根据莱布尼茨判别法，$\left\{\frac{1}{n}\right\}$单调递减且$\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}=0$，所以$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n - 1}}{n}$收敛。
- 其中$u_{2n - 1}=\frac{(-1)^{2n - 2}}{2n - 1}=\frac{1}{2n - 1}$，$u_{2n}=\frac{(-1)^{2n - 1}}{2n}=-\frac{1}{2n}$，则$u_{2n - 1}-u_{2n}=\frac{1}{2n - 1}+\frac{1}{2n}$。
- 因为$\frac{1}{2n - 1}+\frac{1}{2n}\sim\frac{1}{n}(n\to\infty)$，根据比较判别法，$\sum_{n = 1}^{\infty}\left(\frac{1}{2n - 1}+\frac{1}{2n}\right)$发散，所以选项（C）不一定收敛。
选项（D）$\sum_{n = 1}^{\infty}(u_{n}+u_{n + 1})$
设$T_{N}=\sum_{n = 1}^{N}(u_{n}+u_{n + 1})$，展开可得：
$\begin{align*}T_{N}&=(u_{1}+u_{2})+(u_{2}+u_{3})+(u_{3}+u_{4})+\cdots+(u_{N}+u_{N + 1})\\&=u_{1}+2u_{2}+2u_{3}+\cdots+2u_{N}+u_{N + 1}\\&=2(u_{1}+u_{2}+\cdots+u_{N})-u_{1}+u_{N + 1}\\&=2S_{N}-u_{1}+u_{N + 1}\end{align*}$
已知$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收敛，则$\lim_{n \to \infty}S_{n}=S$（$S$为有限常数），且$\lim_{n \to \infty}u_{n + 1}=0$。
所以$\lim_{N \to \infty}T_{N}=\lim_{N \to \infty}(2S_{N}-u_{1}+u_{N + 1})=2S - u_{1}+0 = 2S - u_{1}$，极限存在且为有限值，所以级数$\sum_{n = 1}^{\infty}(u_{n}+u_{n + 1})$必定收敛。