题目
7.用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程,然后求出通解:-|||-(3) '+y=y(ln x+ln y) ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：变量代换
令 $u = xy$，则 $u' = y + xy'$。原方程变为 $u' = u \ln u / x$，即 $du / u \ln u = dx / x$。
步骤 2：分离变量并积分
分离变量后，方程变为 $\frac{du}{u \ln u} = \frac{dx}{x}$。对两边积分，得到 $\int \frac{du}{u \ln u} = \int \frac{dx}{x}$。左边积分可令 $v = \ln u$，则 $dv = du / u$，从而 $\int \frac{du}{u \ln u} = \int \frac{dv}{v} = \ln |v| + C_1 = \ln |\ln u| + C_1$。右边积分得到 $\ln |x| + C_2$。因此，$\ln |\ln u| = \ln |x| + C$，其中 $C = C_2 - C_1$。
步骤 3：求解通解
由 $\ln |\ln u| = \ln |x| + C$，得到 $|\ln u| = e^{\ln |x| + C} = e^{\ln |x|} e^C = C_3 |x|$，其中 $C_3 = e^C$。因此，$\ln u = \pm C_3 x$，即 $u = e^{\pm C_3 x}$。代入 $u = xy$，得到 $xy = e^{\pm C_3 x}$，即 $y = e^{\pm C_3 x} / x$。为了简化，令 $C = \pm C_3$，则通解为 $y = e^{Cx} / x$。
令 $u = xy$，则 $u' = y + xy'$。原方程变为 $u' = u \ln u / x$，即 $du / u \ln u = dx / x$。
步骤 2：分离变量并积分
分离变量后，方程变为 $\frac{du}{u \ln u} = \frac{dx}{x}$。对两边积分，得到 $\int \frac{du}{u \ln u} = \int \frac{dx}{x}$。左边积分可令 $v = \ln u$，则 $dv = du / u$，从而 $\int \frac{du}{u \ln u} = \int \frac{dv}{v} = \ln |v| + C_1 = \ln |\ln u| + C_1$。右边积分得到 $\ln |x| + C_2$。因此，$\ln |\ln u| = \ln |x| + C$，其中 $C = C_2 - C_1$。
步骤 3：求解通解
由 $\ln |\ln u| = \ln |x| + C$，得到 $|\ln u| = e^{\ln |x| + C} = e^{\ln |x|} e^C = C_3 |x|$，其中 $C_3 = e^C$。因此，$\ln u = \pm C_3 x$，即 $u = e^{\pm C_3 x}$。代入 $u = xy$，得到 $xy = e^{\pm C_3 x}$，即 $y = e^{\pm C_3 x} / x$。为了简化，令 $C = \pm C_3$，则通解为 $y = e^{Cx} / x$。