题目
(9) int xtan^2xdx;
(9) $\int x\tan^{2}xdx;$
题目解答
答案
利用恒等式 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$，将积分重写为：
\[
\int x \tan^2 x \, dx = \int x (\sec^2 x - 1) \, dx = \int x \sec^2 x \, dx - \int x \, dx
\]
其中，$\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1$。对 $\int x \sec^2 x \, dx$ 使用分部积分法，设 $u = x$，$dv = \sec^2 x \, dx$，则 $du = dx$，$v = \tan x$，得：
\[
\int x \sec^2 x \, dx = x \tan x - \int \tan x \, dx = x \tan x + \ln |\cos x| + C_2
\]
合并结果得：
\[
\int x \tan^2 x \, dx = x \tan x + \ln |\cos x| - \frac{x^2}{2} + C
\]
或表示为：
\[
\boxed{-\frac{1}{2}x^2 + x \tan x + \ln |\cos x| + C}
\]
解析
考查要点：本题主要考查不定积分的计算，涉及三角恒等式的应用和分部积分法的综合运用。
解题核心思路：
- 利用三角恒等式 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$，将原积分拆分为两个更简单的积分之差。
- 分部积分法处理 $\int x \sec^2 x \, dx$，通过合理选择分部积分中的 $u$ 和 $dv$，逐步简化计算。
- 合并结果，注意常数项的整合。
破题关键点：
- 恒等式转换是简化积分的关键，避免直接处理 $\tan^2 x$ 的复杂性。
- 分部积分法的正确应用，需准确求导和积分分部后的表达式。
步骤1：利用三角恒等式拆分积分
根据恒等式 $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$，原积分可改写为：
$\int x \tan^2 x \, dx = \int x (\sec^2 x - 1) \, dx = \int x \sec^2 x \, dx - \int x \, dx.$
步骤2：计算 $\int x \, dx$
直接积分得：
$\int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1.$
步骤3：分部积分 $\int x \sec^2 x \, dx$
设 $u = x$，$dv = \sec^2 x \, dx$，则 $du = dx$，$v = \tan x$。根据分部积分公式：
$\begin{aligned}\int x \sec^2 x \, dx &= x \tan x - \int \tan x \, dx \\&= x \tan x + \ln |\cos x| + C_2.\end{aligned}$
步骤4：合并所有结果
将步骤2和步骤3的结果代入原积分拆分后的表达式：
$\begin{aligned}\int x \tan^2 x \, dx &= \left( x \tan x + \ln |\cos x| \right) - \frac{x^2}{2} + C.\end{aligned}$