1.下列各题中,哪些数列收敛,哪些数列发散?对收敛数列,通过观察(xn)的变化-|||-趋势,写出它们的极限:-|||-(5) n{(-1))^n} ;

考查要点：本题考察数列收敛与发散的判断，重点在于理解数列极限的存在性条件。

解题核心思路：

1. 观察数列通项的形式：通项为$n \cdot (-1)^n$，包含振荡因子$(-1)^n$和线性增长因子$n$。
2. 分析数列趋势：随着$n$增大，$n$本身趋向正无穷，但$(-1)^n$在$-1$和$1$之间交替，导致数列项在正负方向无限交替增长。
3. 判断极限存在性：若数列收敛，其项必须趋向某个固定值，但本数列项绝对值无限增大且符号交替，故无法收敛。

破题关键点：

• 振荡与发散的关系：当振荡因子（如$(-1)^n$）与发散因子（如$n$）结合时，若振荡幅度不减反增，则数列发散。

数列$\{n(-1)^n\}$的分析

1. 通项展开：
   通项为$n(-1)^n$，即第$n$项为$n$乘以$(-1)^n$。

   • 当$n$为奇数时，$(-1)^n = -1$，项为$-n$；
   • 当$n$为偶数时，$(-1)^n = 1$，项为$n$。

2. 数列项的变化趋势：

   • 奇数项：$-1, -3, -5, \dots$，绝对值趋向正无穷，符号为负。
   • 偶数项：$2, 4, 6, \dots$，绝对值趋向正无穷，符号为正。
   • 整体趋势：数列项在正负方向交替增长，绝对值无限增大。

3. 极限判断：

   • 若数列收敛，其项必须趋向某个固定实数$L$。
   • 但本数列中，无论$n$取何值，项的绝对值总为$n$，且$n \to +\infty$，因此数列项无法稳定在任何有限范围内。
   • 结论：数列发散。