题目
1.下列各题中,哪些数列收敛,哪些数列发散?对收敛数列,通过观察(xn)的变化-|||-趋势,写出它们的极限:-|||-(5) n{(-1))^n} ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：观察数列的变化趋势
数列 $\{ n{(-1)}^{n}\} $ 的每一项由 $n$ 和 $(-1)^n$ 的乘积组成。其中，$n$ 是正整数，$(-1)^n$ 是一个交替的序列，当 $n$ 是偶数时，$(-1)^n = 1$；当 $n$ 是奇数时，$(-1)^n = -1$。因此，数列的项会交替为正和负的整数，且绝对值随 $n$ 的增加而增加。
步骤 2：判断数列的收敛性
由于数列 $\{ n{(-1)}^{n}\} $ 的项随 $n$ 的增加而无界，即数列的项可以无限增大或减小，因此数列不收敛。数列发散的定义是数列的项不趋向于一个有限的极限值，而这个数列的项随 $n$ 的增加而无界，所以数列发散。
数列 $\{ n{(-1)}^{n}\} $ 的每一项由 $n$ 和 $(-1)^n$ 的乘积组成。其中，$n$ 是正整数，$(-1)^n$ 是一个交替的序列，当 $n$ 是偶数时，$(-1)^n = 1$；当 $n$ 是奇数时，$(-1)^n = -1$。因此，数列的项会交替为正和负的整数，且绝对值随 $n$ 的增加而增加。
步骤 2：判断数列的收敛性
由于数列 $\{ n{(-1)}^{n}\} $ 的项随 $n$ 的增加而无界，即数列的项可以无限增大或减小，因此数列不收敛。数列发散的定义是数列的项不趋向于一个有限的极限值，而这个数列的项随 $n$ 的增加而无界，所以数列发散。