题目

2. (6.0分) (6分)下列命题成立的是(). A 若AB=AC，则B=C B 若AB=0，则A=0或B=0 C 若A≠0，则|A|≠0 D 若|A|≠0，则A≠0

题目解答

答案：D

解析：

A. 若 $AB = AC$，则 $B = C$
矩阵乘法不满足消去律，除非 $A$ 可逆。若 $A$ 为零矩阵或不可逆，无法消去 $A$，故不成立。

B. 若 $AB = 0$，则 $A = 0$ 或 $B = 0$
矩阵乘法中，零因子律不成立。存在非零矩阵 $A$ 和 $B$，满足 $AB = 0$，故不成立。

C. 若 $A \neq 0$，则 $|A| \neq 0$
非零矩阵的行列式可为零（如奇异矩阵），故不成立。

D. 若 $|A| \neq 0$，则 $A \neq 0$
零矩阵的行列式为零，故行列式非零时，矩阵必非零，成立。

结论： 正确选项为 $\boxed{D}$。

本题主要考查矩阵的基本性质，包括矩阵乘法的运算规则、矩阵与行列式的关系等。解题的关键在于对每个选项所涉及的矩阵性质进行准确分析和判断。

选项A：
- 矩阵乘法不满足消去律。一般情况下，若$AB = AC$，不能直接得出$B = C$。
- 只有当矩阵$A$可逆时，在等式$AB = AC$两边同时左乘$A^{-1}$，根据逆矩阵的性质$A^{-1}A = E$（$E$为单位矩阵），可得$A^{-1}(AB)=A^{-1}(AC)$，即$(A^{-1}A)B=(A^{-1}A)C$，也就是$EB = EC$，进而得到$B = C$。
- 若$A$为零矩阵或不可逆矩阵，就无法通过这种方式消去$A$，所以该选项不成立。
选项B：
- 在矩阵乘法中，零因子律不成立。也就是说，存在非零矩阵$A$和$B$，使得它们的乘积$AB = 0$。
- 例如，设$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$，则$AB=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$，这里$A\neq0$且$B\neq0$，但$AB = 0$，所以该选项不成立。
选项C：
- 非零矩阵的行列式可能为零，这样的矩阵称为奇异矩阵。
- 例如，矩阵$A=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$，它不是零矩阵，但根据二阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad - bc$，可得$\vert A\vert=\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}=1\times1 - 1\times1 = 0$，所以该选项不成立。
选项D：
- 零矩阵的所有元素都为$0$，根据行列式的定义，零矩阵的行列式为$0$。
- 那么其逆否命题“若$\vert A\vert\neq0$，则$A\neq0$”是成立的，所以该选项成立。