题目
设积分区域由及轴所围成的闭区域,计算 ( )A. B. C. D.
设积分区域
由
及
轴所围成的闭区域,计算 
( )
A. 
B. 
C. 
D. 
题目解答
答案
首先，确定积分区域的边界。由题意知，由
及轴所围成。因此，的边界为
和
。
接下来，进行二重积分的计算。由于被积函数
中
与是可分离的，我们可以先对进行积分，再对进行积分。
为了求解上述定积分，我们令
，则
，从而
。
故答案为：C. 。
解析
步骤 1：确定积分区域
由题意知，积分区域由$y=1$，$y=x$及$x$轴所围成。因此，积分区域的边界为$x=0$，$y=1$和$y=x$。
步骤 2：计算二重积分
由于被积函数$x\sin {y}^{3}$中$x$与$y$是可分离的，我们可以先对$x$进行积分，再对$y$进行积分。
步骤 3：计算积分
首先，对$x$进行积分，得到$\int_{0}^{y} x dx = \frac{1}{2}x^2|_{0}^{y} = \frac{1}{2}y^2$。
然后，对$y$进行积分，得到$\int_{0}^{1} \frac{1}{2}y^2 \sin {y}^{3} dy$。
为了求解上述定积分，我们令$u={y}^{3}$，则$du=3{y}^{2}dy$，从而${y}^{2}dy=\dfrac {1}{3}du$。
因此，原积分变为$\int_{0}^{1} \frac{1}{2}y^2 \sin {y}^{3} dy = \int_{0}^{1} \frac{1}{6} \sin u du = -\frac{1}{6} \cos u|_{0}^{1} = -\frac{1}{6} \cos 1 + \frac{1}{6}$。
由题意知，积分区域由$y=1$，$y=x$及$x$轴所围成。因此，积分区域的边界为$x=0$，$y=1$和$y=x$。
步骤 2：计算二重积分
由于被积函数$x\sin {y}^{3}$中$x$与$y$是可分离的，我们可以先对$x$进行积分，再对$y$进行积分。
步骤 3：计算积分
首先，对$x$进行积分，得到$\int_{0}^{y} x dx = \frac{1}{2}x^2|_{0}^{y} = \frac{1}{2}y^2$。
然后，对$y$进行积分，得到$\int_{0}^{1} \frac{1}{2}y^2 \sin {y}^{3} dy$。
为了求解上述定积分，我们令$u={y}^{3}$，则$du=3{y}^{2}dy$，从而${y}^{2}dy=\dfrac {1}{3}du$。
因此，原积分变为$\int_{0}^{1} \frac{1}{2}y^2 \sin {y}^{3} dy = \int_{0}^{1} \frac{1}{6} \sin u du = -\frac{1}{6} \cos u|_{0}^{1} = -\frac{1}{6} \cos 1 + \frac{1}{6}$。