17.(判断题)若函数f(x)在x_(0)处连续,则f(x)在x_(0)处一定可导。A. 对B. 错

本题考查函数连续与可导的关系。解题思路是明确函数连续和可导的定义，然后通过分析两者之间的逻辑联系来判断该命题的正确性。

函数在某点连续的定义为：$\lim\limits_{x \to x_{0}} f(x) = f(x_{0})$，即当$x$趋近于$x_{0}$时，函数$f(x)$的极限值等于该点的函数值。

函数在某点可导的定义为：$f^\prime(x_{0}) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0})}{\Delta x}$存在。

一般情况下，函数在某点可导，则一定在该点连续；但函数在某点连续，不一定在该点可导。我们可以通过一个反例来证明这一点，例如函数$f(x)=\vert x\vert$，在$x = 0$处连续。

• 证明$f(x)=\vert x\vert$在$x = 0$处连续：
  • 计算$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)$，当$x\to 0^-$时，$f(x)= -x$，则$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^-} (-x)=0$。
  • 计算$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)$，当$x\to 0^+$时，$f(x)= x$，则$\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^+} x=0$。
  • 且$f(0)=\vert 0\vert = 0$，因为$\lim\limits_{x \to 0^-} f(x)=\lim\limits_{x \to 0^+} f(x)=f(0)=0$，所以$f(x)=\vert x\vert$在$x = 0$处连续。
• 证明$f(x)=\vert x\vert$在$x = 0$处不可导：
  • 计算左导数$f_{-}^\prime(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{\vert \Delta x\vert - 0}{\Delta x}$，当$\Delta x\to 0^-$时，$\vert \Delta x\vert = -\Delta x$，则$f_{-}^\prime(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^-} \frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1$。
  • 计算右导数$f_{+}^\prime(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{f(0 + \Delta x) - f(0)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{\vert \Delta x\vert - 0}{\Delta x}$，当$\Delta x\to 0^+$时，$\vert \Delta x\vert = \Delta x$，则$f_{+}^\prime(0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0^+} \frac{\Delta x}{\Delta x}=1$。
  • 由于左导数$f_{-}^\prime(0)= -1$不等于右导数$f_{+}^\prime(0)= 1$，所以$f(x)=\vert x\vert$在$x = 0$处不可导。

由此可见，存在函数在某点连续但不可导的情况，所以“若函数$f(x)$在$x_{0}$处连续，则$f(x)$在$x_{0}$处一定可导”这个命题是错误的。