题目

27 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为xi_(1)=(0,1,2,3)^T,xi_(2)=(3,2,1,0)^T.

27 求一个齐次线性方程组，使它的基础解系为 $\xi_{1}=(0,1,2,3)^{T},\xi_{2}=(3,2,1,0)^{T}.$

题目解答

答案

设所求方程组为 $Ax=0$，其中 $A$ 为 $2 \times 4$ 矩阵，$R(A)=2$。令 $B=(\xi_1, \xi_2)$，则 $AB=0$。对 $B^T$ 进行行初等变换： \[ B^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}. \] 得基础解系： \[ \eta_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \eta_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \] 取 $A^T = (\eta_1, \eta_2)$，则： \[ A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \] 所求方程组为： \[ \boxed{\cases{ x_1 - 2x_2 + x_3 = 0, \\ 2x_1 - 3x_2 + x_4 = 0. }} \]

解析

考查要点：本题要求根据给定的基础解系构造对应的齐次线性方程组，主要考查基础解系与系数矩阵的关系以及矩阵的秩与解空间维数的关系。

解题核心思路：

  1. 确定系数矩阵的结构：基础解系含2个向量，说明解空间维数为2，变量数为4，因此系数矩阵$A$应为$2 \times 4$矩阵，且秩$R(A)=2$。
  2. 构造关联矩阵：将基础解系向量作为列向量构成矩阵$B$，通过求$B^T$的零空间得到$A$的行向量。
  3. 行变换求解：对$B^T$进行行初等变换，找到其基础解系，作为$A$的行向量，最终写出方程组。

破题关键：理解系数矩阵的行向量必须与基础解系向量正交，并通过行变换求解这些行向量。

步骤1：构造关联矩阵$B$

将基础解系$\xi_1=(0,1,2,3)^T$和$\xi_2=(3,2,1,0)^T$作为列向量，构成矩阵：
$B = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}$

步骤2：转置矩阵$B^T$并化简

对$B^T$进行行初等变换：
$B^T = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行变换}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$

步骤3：求$B^T$的零空间

从化简后的矩阵可得方程组：
$\begin{cases}x_1 - x_3 - 2x_4 = 0 \\x_2 + 2x_3 + 3x_4 = 0\end{cases}$
取自由变量$x_3=1, x_4=0$和$x_3=0, x_4=1$，得到基础解系：
$\eta_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \eta_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

步骤4：构造系数矩阵$A$

将$\eta_1$和$\eta_2$作为$A$的行向量，得到：
$A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$