【简答题】某公司在今后四个月内需租用仓库堆放物资。每个月所需仓库面积如下表所示。 月份 1 2 3 4 所需仓库面积 / ( 100 平方米) 15 10 20 12 当租借合同期限越长时,仓库的租赁费用享受的折扣优惠也越大,具体数字如下表所示。 合同租赁期限 1 2 3 4 合同期内 100 平方米仓库面积的租借费用 / 元 2800 4500 6000 7300 租借仓库的合同每月初都可以办理,每份合同具体规定租用面积数和期限。因此该厂可根据需要在任何一个月初办理租借合同,且每次办理,可签一份,也可同时签若干份租用面积和租借期不同的合同。请用线性规划求出一个所付租借费为最小的租借方案

本题考查线性规划在实际租赁方案优化问题中的应用。解题的关键在于合理定义决策变量，根据每个月的仓库面积需求建立约束条件，同时结合不同租赁期限的费用确定目标函数，最后通过求解线性规划模型得到最优的租借方案。

1. 定义决策变量：
   设第 $i$ 个月签订的合同打算租用 $j$ 个月的面积为 $x_{ij}$，其中 $i = 1,2,3,4$ 表示月份，$j = 1,2,3,4$ 表示租赁期限。
2. 确定目标函数：
   目标是使所付租借费最小。根据不同租赁期限对应的每 $100$ 平方米仓库面积的租借费用，可得到目标函数：
   $\min f = 2800x_{11} + 4500x_{12} + 6000x_{13} + 7300x_{14} + 2800x_{21} + 4500x_{22} + 6000x_{23} + 2800x_{31} + 4500x_{32} + 2800x_{41}$
3. 建立约束条件：
   • 第一个月所需仓库面积为 $15\times100$ 平方米，所以 $x_{11}\geq15$。
   • 第二个月所需仓库面积为 $10\times100$ 平方米，第一个月签订租两个月的合同面积 $x_{12}$ 加上第二个月签订租一个月的合同面积 $x_{21}$ 要满足需求，即 $x_{12} + x_{21}\geq10$。
   • 第三个月所需仓库面积为 $20\times100$ 平方米，第一个月签订租三个月的合同面积 $x_{13}$、第二个月签订租两个月的合同面积 $x_{22}$ 以及第三个月签订租一个月的合同面积 $x_{31}$ 之和要满足需求，即 $x_{13} + x_{22} + x_{31}\geq20$。
   • 第四个月所需仓库面积为 $12\times100$ 平方米，第一个月签订租四个月的合同面积 $x_{14}$、第二个月签订租三个月的合同面积 $x_{23}$、第三个月签订租两个月的合同面积 $x_{32}$ 以及第四个月签订租一个月的合同面积 $x_{41}$ 之和要满足需求，即 $x_{14} + x_{23} + x_{32} + x_{41}\geq12$。
   • 同时，决策变量 $x_{ij}$ 表示面积，不能为负数，所以 $x_{ij}\geq0$，$i,j = 1,2,3,4$。
4. 求解线性规划模型：
   使用管理运筹学软件求解上述线性规划模型，得到 $x_{11} = 15$，$x_{12} = 0$，$x_{13} = 0$，$x_{14} = 0$，$x_{21} = 10$，$x_{22} = 0$，$x_{23} = 0$，$x_{31} = 20$，$x_{32} = 0$，$x_{41} = 12$，最优值为 $159600$。