题目

以下哪些函数列在区间[0, 1]上一致收敛？ A f_n(x)= x^n B f_n(x)= sin(nx) C 1/(1 + nx) D f_n(x)= x^n / (1 + nx)

以下哪些函数列在区间$[0, 1]$上一致收敛？

A $f_n(x)= x^n$

B $f_n(x)= \sin(nx)$

C $1/(1 + nx)$

D $f_n(x)= x^n / (1 + nx)$

题目解答

答案

为了确定哪些函数列在区间$[0,1]$上一致收敛，我们需要检查函数列是否收敛到一个极限函数，以及收敛速度是否与区间中的点无关。让我们逐一分析每个函数列。 **函数列 A: $ f_n(x) = x^n $** 1. **找到点态极限：** - 对于 $ x = 0 $，$ f_n(0) = 0^n = 0 $。 - 对于 $ 0 < x < 1 $，$ f_n(x) = x^n \to 0 $ 当 $ n \to \infty $。 - 对于 $ x = 1 $，$ f_n(1) = 1^n = 1 $。 因此，点态极限函数是 \[ f(x) = \begin{cases} 0 & \text{如果 } 0 \le x < 1, \\ 1 & \text{如果 } x = 1. \end{cases} \] 2. **检查一致收敛：** 极限函数 $ f(x) $ 在 $ x = 1 $处不连续，而一致收敛的连续函数列的极限函数必须连续。因此，$ f_n(x) = x^n $在$[0,1]$上不一致收敛。 **函数列 B: $ f_n(x) = \sin(nx) $** 1. **找到点态极限：** - 当 $ n \to \infty $时，$ nx $可以取任何实数值，因此 $ \sin(nx) $在$-1$和$1$之间振荡。因此，$ f_n(x) $对于任何 $ x \in (0,1] $都不收敛。 - 对于 $ x = 0 $，$ f_n(0) = \sin(0) = 0 $。 由于 $ f_n(x) $对于区间$[0,1]$中的大多数 $ x $不收敛，它在$[0,1]$上不一致收敛。 **函数列 C: $ f_n(x) = \frac{1}{1+nx} $** 1. **找到点态极限：** - 对于 $ x = 0 $，$ f_n(0) = \frac{1}{1+0} = 1 $。 - 对于 $ x \in (0,1] $，$ f_n(x) = \frac{1}{1+nx} \to 0 $ 当 $ n \to \infty $。 因此，点态极限函数是 \[ f(x) = \begin{cases} 1 & \text{如果 } x = 0, \\ 0 & \text{如果 } x \in (0,1]. \end{cases} \] 2. **检查一致收敛：** 极限函数 $ f(x) $在 $ x = 0 $处不连续，而一致收敛的连续函数列的极限函数必须连续。因此，$ f_n(x) = \frac{1}{1+nx} $在$[0,1]$上不一致收敛。 **函数列 D: $ f_n(x) = \frac{x^n}{1+nx} $** 1. **找到点态极限：** - 对于 $ x = 0 $，$ f_n(0) = \frac{0^n}{1+0} = 0 $。 - 对于 $ x \in (0,1] $，$ x^n \to 0 $ 和 $ 1+nx \to \infty $ 当 $ n \to \infty $，因此 $ f_n(x) = \frac{x^n}{1+nx} \to 0 $。 因此，点态极限函数是 \[ f(x) = 0 \quad \text{对于所有 } x \in [0,1]. \] 2. **检查一致收敛：** 我们需要检查 $ \sup_{x \in [0,1]} |f_n(x) - f(x)| \to 0 $ 是否成立。这等价于检查 $ \sup_{x \in [0,1]} \left| \frac{x^n}{1+nx} \right| \to 0 $。 - 考虑函数 $ g_n(x) = \frac{x^n}{1+nx} $。为了找到最大值，我们取导数并设为零： \[ g_n'(x) = \frac{nx^{n-1}(1+nx) - x^n \cdot n}{(1+nx)^2} = \frac{nx^{n-1}}{(1+nx)^2} \left( 1 + nx - x \right) = \frac{nx^{n-1}}{(1+nx)^2} \left( 1 + (n-1)x \right). \] 临界点是 $ x = 0 $ 和 $ x = -\frac{1}{n-1} $（不在$[0,1]$内）以及 $ g_n(x) $在边界 $ x = 1 $处的值： \[ g_n(1) = \frac{1^n}{1+n \cdot 1} = \frac{1}{1+n}. \] 由于 $ g_n(x) \ge 0 $对于 $ x \in [0,1] $且 $ g_n(0) = 0 $，最大值在 $ x = 1 $处： \[ \sup_{x \in [0,1]} \left| \frac{x^n}{1+nx} \right| = \frac{1}{1+n} \to 0 \text{ 当 } n \to \infty. \] 因此，$ f_n(x) = \frac{x^n}{1+nx} $在$[0,1]$上一致收敛。 答案是 $\boxed{D}$。

解析

本题主要考查函数列一致一致收敛的判断，解题思路是先求出每个函数列的点态极限函数，再根据一致收敛的性质（如一致收敛的连续函数列的极限函数必连续）或通过计算上确界来判断是否一致收敛。

函数列 A: $f_n(x) = x^n$

  1. 求点态极限：
    • 当 $x = 0$ 时，$f_n(0)=0^n = 0$。
    • 当 $0 < x < 1$时，根据指数函数性质，$\lim_{n\rightarrow\infty}x^n = 0$。
    • 当 $x = 1时，\(f_n(1)=1^n = 1$。
      所以点态极限函数为\(1) $f(x)=\begin{cases}0, & 0\leq x < 1\\1, & x = 1\end{cases}$ 2. **判断一致收敛性**： 极限函数 $f(x)$ 在 $x = 1$处不连续，而一致收敛的连续函数列的极限函数必须连续，所以 $f_n(x)=x^n$ 在 $[0,1]$ 上不一致收敛。

函数列 B: $f_n(x)=\sin(nx)$

  1. 求点态极限：
    • 当 $x = 0$ 时，$f_n(0)=\sin(0)=0$。
    • 当 $x\in(0,1]$ 时，$nx$ 随着 $n$ 增大可以取任意实数值，$\sin(nx)$ 在 $-1$ 和 $1$ 之间振荡，极限不存在。
      由于 $f_n(x)$ 对于区间 $[0,1]$ 中的大多数 $x$ 不收敛，所以它在 $[0,1]$ 上不一致收敛。

函数列 C: $f_n(x)=\frac{1}{1 + nx}$

  1. 求点态极限：
    • 当 $x = 0$ 时，$f_n(0)=\frac{1}{1 + 0}=1$。
    • 当 $x\in(0,1]$ 时，$\lim_{n\rightarrow\infty}(1+nx)=\infty$，所以 $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1{1+nx}=0$。
      点态极限函数为(2)
      $f(x)=\begin{cases}1, & x = 0\\0, & x\in(0,1]\end{cases}$
  2. 判断一致收敛性：
    极限函数 $f(x)$ 在 $x = 0$ 处不连续，根据一致收敛的性质，$f_n(x)=\frac{1}{1+nx}$ 在 $[0,1]$ 上不一致收敛。

函数列 D: $f_n(x)=\frac{x^n}{1+nx}$

  1. 求点态极限：
    • 当 $x = 0时，\(f_n(0)=\frac{0^n}{1+0}=0$。
    • 当 $x\in(0,1]$ 时，$\lim_{n\rightarrow\infty}x^n = 0$，$\(1+nx)\rightarrow\infty$，所以 $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{x^n}{1+nx}=0$。
      点态极限函数为 $f(x)=0$，$x\in[0,1]$。
  2. 判断一致收敛性：
    要判断是否一致收敛，需判断 $\sup_{x\in[0,1]}|f_n(x)-f(x)|\to0$ 是否成立，即判断 $\sup_{x\in[0,1]}\left|\frac{x^n}{1+nx}\right|\to0$ 是否成立。
    设 $g_n(x)=\frac{x^n}{1+nx}$，对其求导：
    $g_n^\prime(x)=\frac{nx^{n - 1}(1+nx)-x^n\cdot n}{(1+nx)^2}=\frac{nx^{n-1}}{(1+nx)^2}(1+(n - 1)x)$
    令 $g_n^\prime(x)=0$，在 $[0,1]$ 内，$x = 0$ 是一个驻点，另一个驻点 $x=-\frac{1}{n - 1}$不在[0,1]内。
    计算 $g_n(1)=\frac{1^n}{1+n\cdot1}=\frac{1{1 + n}$。
    因为 $g_n(x)\geq0$ 对于 $x\in[0,1]$ 且 $g_n(0)=0$，所以 $\sup_{x\in[0,1]}\left|\frac{x^n}{1+nx}\right|=\frac{1}{1 + n}$。
    又因为 $\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{1 + n}}=0$，所以 $f_n(x)=\frac{x^n}{1+nx}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。