题目
(22)(本小题满分12分)设矩阵A=(}2&1&01&2&01&a&bAP为对角矩阵.
(22)(本小题满分12分)
设矩阵$A=\left(\begin{matrix}2&1&0\\1&2&0\\1&a&b\end{matrix}\right)$仅有两个不同的特征值.若A相似于对角矩阵，求a，b的值，并求可逆矩阵P，使$P^{-1}AP$为对角矩阵.
题目解答
答案
矩阵 $ A $ 有特征值 $ \lambda_1 = \lambda_2 $ 和 $ \lambda_3 $，且相似于对角矩阵。
**情况1：$ b = 1 $，$ a = 1 $**
特征值为 $ 1, 1, 3 $，可逆矩阵 $ P = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $。
**情况2：$ b = 3 $，$ a = -1 $**
特征值为 $ 3, 3, 1 $，可逆矩阵 $ P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} $。
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{cc}
\text{情况1：} & a = 1, b = 1, P = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \\
\text{情况2：} & a = -1, b = 3, P = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
\end{array}
}
\]