级数 sum_(n=1)^infty (x^n)/(n) 的收敛区域是A. (-1,1)B. [-1,1)C. (-1,1]D. [-1,1]

考查要点：本题主要考查幂级数的收敛区域的判断，涉及收敛半径的计算及端点收敛性的分析。

解题核心思路：

1. 比值判别法确定收敛半径；
2. 分别检验端点$x=1$和$x=-1$处的收敛性；
3. 结合绝对收敛与条件收敛的判定，最终确定收敛区域。

破题关键点：

• 收敛半径的计算是基础，需正确应用比值判别法；
• 端点$x=1$对应调和级数（发散），端点$x=-1$对应交错级数（条件收敛），需分别判断。

第一步：计算收敛半径

设通项$a_n = \frac{x^n}{n}$，应用比值判别法：
$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| x \cdot \frac{n}{n+1} \right| = |x|$
当$|x| < 1$时，级数绝对收敛，故收敛半径为$R = 1$，初步收敛区间为$(-1, 1)$。

第二步：检验端点收敛性

当$x = 1$时

级数变为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，即调和级数，显然发散。

当$x = -1$时

级数变为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$，满足莱布尼茨判别法：

1. 通项$\frac{1}{n}$单调递减；
2. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$。

因此该级数条件收敛。

第三步：确定收敛区域

• $|x| < 1$时绝对收敛；
• $x = 1$时发散；
• $x = -1$时条件收敛。

综上，收敛区域为$[-1, 1)$。