题目
设随机变量 X 在 [ 2, 5 ] 上服从均匀分布 , 现 对 X 进行三次独立观测 , 试求至少有两次观测 值 大于 3 的概率 .
设随机变量 X 在 [ 2, 5 ] 上服从均匀分布 , 现 对 X 进行三次独立观测 , 试求至少有两次观测 值 大于 3 的概率 .
题目解答
答案
20/27
解析
步骤 1：确定随机变量 X 的概率密度函数
随机变量 X 在 [2, 5] 上服从均匀分布，因此其概率密度函数为：
\[ f(x) = \frac{1}{5-2} = \frac{1}{3} \]
步骤 2：计算观测值大于 3 的概率
观测值大于 3 的概率为：
\[ P(X > 3) = \int_{3}^{5} \frac{1}{3} dx = \frac{2}{3} \]
步骤 3：计算至少有两次观测值大于 3 的概率
设 Y 为观测值大于 3 的次数，Y 服从二项分布，参数为 n=3 和 p=2/3。至少有两次观测值大于 3 的概率为：
\[ P(Y \geq 2) = P(Y = 2) + P(Y = 3) \]
\[ P(Y = 2) = \binom{3}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9} \]
\[ P(Y = 3) = \binom{3}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 1 \cdot \frac{8}{27} = \frac{8}{27} \]
\[ P(Y \geq 2) = \frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{12}{27} + \frac{8}{27} = \frac{20}{27} \]
随机变量 X 在 [2, 5] 上服从均匀分布，因此其概率密度函数为：
\[ f(x) = \frac{1}{5-2} = \frac{1}{3} \]
步骤 2：计算观测值大于 3 的概率
观测值大于 3 的概率为：
\[ P(X > 3) = \int_{3}^{5} \frac{1}{3} dx = \frac{2}{3} \]
步骤 3：计算至少有两次观测值大于 3 的概率
设 Y 为观测值大于 3 的次数，Y 服从二项分布，参数为 n=3 和 p=2/3。至少有两次观测值大于 3 的概率为：
\[ P(Y \geq 2) = P(Y = 2) + P(Y = 3) \]
\[ P(Y = 2) = \binom{3}{2} \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^1 = 3 \cdot \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{9} \]
\[ P(Y = 3) = \binom{3}{3} \left(\frac{2}{3}\right)^3 = 1 \cdot \frac{8}{27} = \frac{8}{27} \]
\[ P(Y \geq 2) = \frac{4}{9} + \frac{8}{27} = \frac{12}{27} + \frac{8}{27} = \frac{20}{27} \]