设函数y=y(x)由方程ylny−x+y=0确定,试判断曲线y=y(x)在点(1,1)附近的凹凸性。

步骤 1：对给定方程求导
给定方程为 ylny−x+y=0，我们首先对x求导，得到y关于x的导数y'。
步骤 2：求y'的表达式
对ylny−x+y=0两边对x求导，得到y'lny+y'y−1+y'=0，即y'(2+lny)=1。
步骤 3：求y'在点(1,1)的值
将x=1，y=1代入y'(2+lny)=1，得到y'(1)=1/2。
步骤 4：求y''的表达式
对y'(2+lny)=1两边对x求导，得到y''(2+lny)+(y')^2/y=0。
步骤 5：求y''在点(1,1)的值
将x=1，y=1，y'(1)=1/2代入y''(2+lny)+(y')^2/y=0，得到y''(1)=-1/8。
步骤 6：判断凹凸性
根据y''(1)的符号判断曲线在点(1,1)附近的凹凸性。y''(1)<0，说明曲线在点(1,1)附近是凸的。