题目
设平面区域是由曲线所围成的右半圆，则二重积分在极坐标系下化为二次积分的形式为（ ） A B C D
设平面区域
是由曲线
所围成的右半圆，则二重积分
在极坐标系下化为二次积分的形式为（ ）
A 
B 
C 
D 
题目解答
答案
题中积分区域为曲线所围成的右半圆
积分区域如下图阴影部分：
根据上图，
∴
故答案选C
解析
步骤 1：确定积分区域
题目中给出的积分区域是由曲线${x}^{2}+{y}^{2}=1(x\geqslant 0)$所围成的右半圆。这意味着积分区域在$x$轴的右侧，且半径为1的圆的右半部分。
步骤 2：转换到极坐标系
在极坐标系中，$x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，其中$\rho$是极径，$\theta$是极角。对于右半圆，$\rho$的范围是$0\leqslant \rho \leqslant 1$，$\theta$的范围是$-\dfrac {\pi }{2}\leqslant \theta \leqslant \dfrac {\pi }{2}$。
步骤 3：将二重积分转换为极坐标系下的二次积分
在极坐标系下，二重积分$\iint f(x,y)dxdy$可以表示为${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}d\theta {\int }_{0}^{1}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho d\rho$。这里，$dxdy$在极坐标系下转换为$\rho d\rho d\theta$，因为极坐标系下的面积元素是$\rho d\rho d\theta$。
题目中给出的积分区域是由曲线${x}^{2}+{y}^{2}=1(x\geqslant 0)$所围成的右半圆。这意味着积分区域在$x$轴的右侧，且半径为1的圆的右半部分。
步骤 2：转换到极坐标系
在极坐标系中，$x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，其中$\rho$是极径，$\theta$是极角。对于右半圆，$\rho$的范围是$0\leqslant \rho \leqslant 1$，$\theta$的范围是$-\dfrac {\pi }{2}\leqslant \theta \leqslant \dfrac {\pi }{2}$。
步骤 3：将二重积分转换为极坐标系下的二次积分
在极坐标系下，二重积分$\iint f(x,y)dxdy$可以表示为${\int }_{-\dfrac {\pi }{2}}^{\dfrac {\pi }{2}}d\theta {\int }_{0}^{1}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho d\rho$。这里，$dxdy$在极坐标系下转换为$\rho d\rho d\theta$，因为极坐标系下的面积元素是$\rho d\rho d\theta$。