[2012年] 将长度为1 m的木棒随机地截成两段,则两段长度的相关系数为( ).A. 1B. 1/2C. 一1/2D. 一1

考查要点：本题主要考查相关系数的计算，以及随机变量线性关系的理解。关键在于理解两段长度之间的严格线性关系，并利用相关系数的性质直接得出结论。

解题核心思路：

1. 设木棒被截断的位置为随机变量$X$，则两段长度分别为$X$和$1-X$。
2. 相关系数反映两个变量的线性关系强度和方向。若两变量严格满足$Y = aX + b$（线性关系），则相关系数为$+1$或$-1$，具体由$a$的符号决定。
3. 本题中$1-X$是$X$的线性变换（系数为$-1$），因此相关系数为$-1$。

步骤1：定义变量

设木棒被截断的位置为$X$，则两段长度分别为$X$和$1-X$，其中$X \sim U(0,1)$（均匀分布）。

步骤2：分析线性关系

两段长度满足严格线性关系：
$1 - X = (-1) \cdot X + 1$
即$Y = 1 - X$是$X$的线性变换，系数为$-1$。

步骤3：相关系数性质

若$Y = aX + b$，则相关系数$r_{X,Y} = \begin{cases} +1 & a > 0 \\ -1 & a < 0 \end{cases}$。
本题中$a = -1$，因此$r_{X,Y} = -1$。

步骤4：验证计算（选读）

通过公式验证：
$r_{X,Y} = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$
其中$\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(X, 1 - X) = -\text{Var}(X) = -\frac{1}{12}$，$\sigma_X = \sigma_Y = \sqrt{\frac{1}{12}}$，代入得：
$r_{X,Y} = \frac{-\frac{1}{12}}{\frac{1}{12}} = -1$