题目
4.计算曲面积分 iint f(x,y,z)ds, 其中Z为抛物面 =2-((x)^2+(y)^2) 在xOy面上方的部分,-|||-f(x,y,z)分别如下:-|||-(3) (x,y,z)=3z.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
抛物面 $z=2-(x^2+y^2)$ 与 $xOy$ 面的交线为 $x^2+y^2=2$，因此积分区域在 $xOy$ 面上的投影区域 $D_{xy}=\{(x,y)|x^2+y^2\leqslant 2\}$。
步骤 2：计算曲面微元
曲面微元 $dS$ 可以表示为 $dS=\sqrt{1+{z_x}^2+{z_y}^2}dxdy$，其中 $z_x=-2x$，$z_y=-2y$，因此 $dS=\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy$。
步骤 3：将曲面积分转化为二重积分
将曲面积分转化为二重积分，即 ${\int }_{\sum }3zdS=3{\int }_{D_{xy}}(2-(x^2+y^2))\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy$。
步骤 4：使用极坐标变换
将二重积分转化为极坐标形式，即 $3{\int }_{0}^{2\pi }d\theta {\int }_{0}^{\sqrt{2}}(2-r^2)\sqrt{1+4r^2}rdr$。
步骤 5：计算二重积分
计算二重积分，得到 $6\pi (\dfrac{13}{3}-\dfrac{149}{60})=\dfrac{111}{10}\pi$。
抛物面 $z=2-(x^2+y^2)$ 与 $xOy$ 面的交线为 $x^2+y^2=2$，因此积分区域在 $xOy$ 面上的投影区域 $D_{xy}=\{(x,y)|x^2+y^2\leqslant 2\}$。
步骤 2：计算曲面微元
曲面微元 $dS$ 可以表示为 $dS=\sqrt{1+{z_x}^2+{z_y}^2}dxdy$，其中 $z_x=-2x$，$z_y=-2y$，因此 $dS=\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy$。
步骤 3：将曲面积分转化为二重积分
将曲面积分转化为二重积分，即 ${\int }_{\sum }3zdS=3{\int }_{D_{xy}}(2-(x^2+y^2))\sqrt{1+4x^2+4y^2}dxdy$。
步骤 4：使用极坐标变换
将二重积分转化为极坐标形式，即 $3{\int }_{0}^{2\pi }d\theta {\int }_{0}^{\sqrt{2}}(2-r^2)\sqrt{1+4r^2}rdr$。
步骤 5：计算二重积分
计算二重积分，得到 $6\pi (\dfrac{13}{3}-\dfrac{149}{60})=\dfrac{111}{10}\pi$。