题目
已知函数f（x）=a（ex+a）-x.（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当a＞0时，f（x）＞2lna+(3)/(2)．
已知函数f（x）=a（ex+a）-x.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当a＞0时，f（x）＞2lna+$\frac{3}{2}$．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当a＞0时，f（x）＞2lna+$\frac{3}{2}$．
题目解答
答案
解：（1）f（x）=a（ex+a）-x,
则f'（x）=aex-1，
①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在R上单调递减，
②当a＞0时，令f'（x）=0得，x=$ln\frac{1}{a}$，
当x∈（-∞，ln$\frac{1}{a}$）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln$\frac{1}{a}$，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，f（x）在（-∞，ln$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（ln$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递增．
证明：（2）由（1）可知，当a＞0时，f（x）min=f（ln$\frac{1}{a}$）=a（$\frac{1}{a}$+a）-ln$\frac{1}{a}$=1+a2+lna,
要证f（x）＞2lna+$\frac{3}{2}$，只需证1+a2+lna＞2lna+$\frac{3}{2}$，
只需证${a}^{2}-lna-\frac{1}{2}$＞0，
设g（a）=${a}^{2}-lna-\frac{1}{2}$，a＞0，
则g'（a）=2a-$\frac{1}{a}$=$\frac{2{a}^{2}-1}{a}$，
令g'（a）=0得，a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当a∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减，当a∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）时，g'（a）＞0，g（a）单调递增，
所以g（a）≥g（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}-ln\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$=-ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，
即g（a）＞0，
所以${a}^{2}-lna-\frac{1}{2}$＞0得证，
即f（x）＞2lna+$\frac{3}{2}$得证．
则f'（x）=aex-1，
①当a≤0时，f'（x）＜0恒成立，f（x）在R上单调递减，
②当a＞0时，令f'（x）=0得，x=$ln\frac{1}{a}$，
当x∈（-∞，ln$\frac{1}{a}$）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（ln$\frac{1}{a}$，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递减；当a＞0时，f（x）在（-∞，ln$\frac{1}{a}$）上单调递减，在（ln$\frac{1}{a}$，+∞）上单调递增．
证明：（2）由（1）可知，当a＞0时，f（x）min=f（ln$\frac{1}{a}$）=a（$\frac{1}{a}$+a）-ln$\frac{1}{a}$=1+a2+lna,
要证f（x）＞2lna+$\frac{3}{2}$，只需证1+a2+lna＞2lna+$\frac{3}{2}$，
只需证${a}^{2}-lna-\frac{1}{2}$＞0，
设g（a）=${a}^{2}-lna-\frac{1}{2}$，a＞0，
则g'（a）=2a-$\frac{1}{a}$=$\frac{2{a}^{2}-1}{a}$，
令g'（a）=0得，a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当a∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减，当a∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）时，g'（a）＞0，g（a）单调递增，
所以g（a）≥g（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}-ln\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$=-ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，
即g（a）＞0，
所以${a}^{2}-lna-\frac{1}{2}$＞0得证，
即f（x）＞2lna+$\frac{3}{2}$得证．
解析
步骤 1：求导数
首先，我们对函数f（x）=a（e^{x}+a）-x求导，得到f'（x）=ae^{x}-1。
步骤 2：讨论单调性
① 当a≤0时，由于e^{x}总是正的，所以ae^{x}≤0，因此f'（x）=ae^{x}-1＜0，这意味着f（x）在R上单调递减。
② 当a＞0时，令f'（x）=0，解得x=$ln\frac{1}{a}$。当x＜$ln\frac{1}{a}$时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞$ln\frac{1}{a}$时，f'（x）＞0，f（x）单调递增。
步骤 3：证明不等式
当a＞0时，f（x）在x=$ln\frac{1}{a}$处取得最小值，即f（x）_min=f（ln$\frac{1}{a}$）=a（$\frac{1}{a}$+a）-ln$\frac{1}{a}$=1+a^{2}+lna。要证明f（x）＞2lna+$\frac{3}{2}$，即证明1+a^{2}+lna＞2lna+$\frac{3}{2}$，即证明${a}^{2}-lna-\frac{1}{2}$＞0。设g（a）=${a}^{2}-lna-\frac{1}{2}$，a＞0，求导得g'（a）=2a-$\frac{1}{a}$=$\frac{2{a}^{2}-1}{a}$。令g'（a）=0，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$。当a∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减；当a∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）时，g'（a）＞0，g（a）单调递增。所以g（a）≥g（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}-ln\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$=-ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，即g（a）＞0，所以${a}^{2}-lna-\frac{1}{2}$＞0得证，即f（x）＞2lna+$\frac{3}{2}$得证。
首先，我们对函数f（x）=a（e^{x}+a）-x求导，得到f'（x）=ae^{x}-1。
步骤 2：讨论单调性
① 当a≤0时，由于e^{x}总是正的，所以ae^{x}≤0，因此f'（x）=ae^{x}-1＜0，这意味着f（x）在R上单调递减。
② 当a＞0时，令f'（x）=0，解得x=$ln\frac{1}{a}$。当x＜$ln\frac{1}{a}$时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞$ln\frac{1}{a}$时，f'（x）＞0，f（x）单调递增。
步骤 3：证明不等式
当a＞0时，f（x）在x=$ln\frac{1}{a}$处取得最小值，即f（x）_min=f（ln$\frac{1}{a}$）=a（$\frac{1}{a}$+a）-ln$\frac{1}{a}$=1+a^{2}+lna。要证明f（x）＞2lna+$\frac{3}{2}$，即证明1+a^{2}+lna＞2lna+$\frac{3}{2}$，即证明${a}^{2}-lna-\frac{1}{2}$＞0。设g（a）=${a}^{2}-lna-\frac{1}{2}$，a＞0，求导得g'（a）=2a-$\frac{1}{a}$=$\frac{2{a}^{2}-1}{a}$。令g'（a）=0，解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$。当a∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）时，g'（a）＜0，g（a）单调递减；当a∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）时，g'（a）＞0，g（a）单调递增。所以g（a）≥g（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{1}{2}-ln\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{1}{2}$=-ln$\frac{\sqrt{2}}{2}$＞0，即g（a）＞0，所以${a}^{2}-lna-\frac{1}{2}$＞0得证，即f（x）＞2lna+$\frac{3}{2}$得证。