题目

(10)设函数f(x)的导数在点 x=a 处连续,又 lim _(xarrow a)dfrac (f'(x))(x-a)=-1, 则 () .(10)设函数f(x)的导数在点 x=a 处连续,又 lim _(xarrow a)dfrac (f'(x))(x-a)=-1, 则 () .(10)设函数f(x)的导数在点 x=a 处连续,又 lim _(xarrow a)dfrac (f'(x))(x-a)=-1, 则 () .(10)设函数f(x)的导数在点 x=a 处连续,又 lim _(xarrow a)dfrac (f'(x))(x-a)=-1, 则 () .

$(10)\text{ 设函数 }f(x)\text{的导数在点 }x=a\text{ 处连续,又}\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}(x)}{x\text{ 一}a}=-1,\text{则(}\quad).$

$\mathrm{(A)}_{x=a\text{ 是 }f(x)\text{的极小值点;(B)}x=a\text{ 是 }f(x)\text{的极大值点;}}$

$({C})(a,f(a))\text{是曲线 }y=f(x)\text{的拐点;}$

$\mathrm{(D)~}x{=}a\text{ 不是 }f(x)\text{的极值点},(a,f(a))\text{也不是曲线 }y{=}f(x)\text{的拐点}.$

题目解答

答案

由题意可得，

$f^{\prime}(a)=0$

$\lim_{x\to a}\frac{f^{\prime}\left(x\right)}{x-a}=\lim_{x\to a}f^{\prime\prime}\left(x\right)=-1\therefore f^{\prime\prime}\left(a\right)=-1$

所以不是拐点，是极大值点。

所以答案为B

解析

步骤 1：分析给定条件
题目给出条件 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{x-a}=-1$，这表明当x趋近于a时，f'(x)与x-a的比值趋近于-1。这意味着f'(x)在x=a处的导数f''(a)存在且等于-1。

步骤 2：确定f''(a)的符号
由于 $\lim _{x\rightarrow a}\dfrac {f'(x)}{x-a}=-1$，可以得出f''(a)=-1。这表明在x=a处，f(x)的二阶导数为负值。

步骤 3：判断极值点和拐点
- 极值点：当f''(a)<0时，f(x)在x=a处取得极大值。
- 拐点：拐点是二阶导数变号的点，即f''(x)从正变负或从负变正。由于f''(a)=-1，且题目没有给出f''(x)在x=a附近变号的信息，因此不能确定(a,f(a))是拐点。