题目
16. 已知函数f(x)=e^x-ax-a^3.(1) 当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2) 若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
16. 已知函数$f(x)=e^{x}-ax-a^{3}$.
(1) 当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2) 若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.
题目解答
答案
(1) 当 $ a = 1 $ 时，函数为 $ f(x) = e^x - x - 1 $，求导得 $ f'(x) = e^x - 1 $。
计算 $ f(1) = e - 2 $，$ f'(1) = e - 1 $，切线方程为：
\[
y - (e - 2) = (e - 1)(x - 1) \implies y = (e - 1)x - 1
\]
**答案：** $(e - 1)x - y - 1 = 0$
(2) 求导得 $ f'(x) = e^x - a $，令 $ f'(x) = 0 $ 得 $ x = \ln a $（仅当 $ a > 0 $ 时有解）。
分析单调性知 $ x = \ln a $ 为极小值点，极小值为：
\[
f(\ln a) = a - a\ln a - a^3 < 0 \implies 1 - \ln a - a^2 < 0
\]
令 $ g(a) = \ln a + a^2 $，则 $ g(a) $ 在 $ (0, +\infty) $ 上单调递增，且 $ g(1) = 1 $。
解 $ g(a) > 1 $ 得 $ a > 1 $。
**答案：** $(1, +\infty)$