求下列极限lim _(xarrow infty )dfrac ({(1+dfrac {1)(x))}^(x^2)}({e)^x}

考查要点：本题主要考查第二个重要极限的应用，以及如何处理指数函数与多项式组合的极限问题。关键在于将分子中的表达式转化为重要极限的形式，并结合等价无穷小或泰勒展开进行分析。

解题核心思路：

1. 识别重要极限结构：分子$(1+\frac{1}{x})^{x^2}$可拆解为$[(1+\frac{1}{x})^x]^x$，利用$\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x = e$进行近似。
2. 对比分子与分母的增长速率：分子近似为$e^x$，分母为$e^x$，但需进一步分析更高阶的误差项。
3. 泰勒展开或等价无穷小替换：对$\ln(1+\frac{1}{x})$展开，精确计算极限值。

破题关键点：

• 拆分指数：将$x^2$拆分为$x \cdot x$，结合重要极限简化分子。
• 对数转换：通过取自然对数将指数运算转化为线性运算，便于展开和计算。

步骤1：取自然对数简化运算
设原式为$L$，则：
$\ln L = \lim_{x \to \infty} \left[ x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) - x \right]$

步骤2：泰勒展开$\ln(1+\frac{1}{x})$
当$x \to \infty$时，$\frac{1}{x} \to 0$，展开得：
$\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \cdots$

步骤3：代入展开式并化简
将展开式代入$\ln L$：
$\begin{aligned}\ln L &= \lim_{x \to \infty} \left[ x^2 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \cdots \right) - x \right] \\&= \lim_{x \to \infty} \left[ x - \frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \cdots - x \right] \\&= \lim_{x \to \infty} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \cdots \right) \\&= -\frac{1}{2}\end{aligned}$

步骤4：还原指数形式
由$\ln L = -\frac{1}{2}$得：
$L = e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}$