6.(单选题) 设随机变量X的概率密度为f_(x)(x)=(1)/(2)e^-|x|，问X与|X|是否独立。A. 不独立B. 独立

考查要点：本题主要考查随机变量独立性的判断，涉及概率密度函数的性质及变量间的依赖关系。

解题核心思路：

1. 独立性的定义：两个随机变量独立当且仅当它们的联合概率密度函数等于各自边缘概率密度函数的乘积。
2. 关键矛盾点：若变量Y是X的函数（如Y=|X|），则Y的取值完全由X决定，二者必然存在依赖关系，无法满足独立性。

破题关键：

• 直接判断法：若Y是X的函数，则X与Y不可能独立（除非Y为常数）。
• 反例验证：通过构造特定事件，验证联合概率是否等于边缘概率的乘积，从而推翻独立性假设。

步骤1：分析变量关系
设Y=|X|，则Y的取值完全由X决定。例如，若已知Y=y，则X只能取y或−y。这表明X与Y之间存在确定性依赖关系。

步骤2：构造反例验证独立性
假设X与Y独立，考虑以下事件：

• 事件A：X > 1
• 事件B：Y < 1

若独立，则应满足：
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$
但实际计算得：

• P(A ∩ B)：X > 1且Y < 1不可能同时成立，故概率为0。
• P(A)：$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2}e^{-x} dx = \frac{1}{2}e^{-1}$
• P(B)：$\int_{-1}^{1} \frac{1}{2}e^{-|x|} dx = 1 - e^{-1}$
• P(A)P(B)：$\frac{1}{2}e^{-1}(1 - e^{-1}) \neq 0$

显然，$P(A \cap B) \neq P(A)P(B)$，矛盾出现，说明假设不成立，即X与Y不独立。

步骤3：理论强化
若Y是X的函数（如Y=|X|），则Y的条件分布依赖于X的具体取值，二者必然相关，无法独立。