题目

题型说明：共15题，每题2分。26. (2.0分) (tan x)^prime=1/(cos x)^2=(sec x)^2=( )

题型说明：共15题，每题2分。 26. (2.0分) $(\tan x)^{\prime}=1/(\cos x)^{2}=(\sec x)^{2}=( )$

题目解答

答案

利用商法则对 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ 求导： \[ (\tan x)' = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \] 或者，由 $\tan x = \sin x \cdot \frac{1}{\cos x}$，应用乘积法则同样得到： \[ (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \] 答案：$\boxed{\sec^2 x}$

解析

本题考查正切函数的导数计算，核心在于正确应用导数的求导法则（如商法则或乘积法则），并利用三角恒等式进行化简。关键点在于将$\tan x$表示为$\frac{\sin x}{\cos x}$，再通过求导公式推导出结果，最终转化为$\sec^2 x$或$\frac{1}{\cos^2 x}$的形式。

方法一：商法则

  1. 表达$\tan x$为分式：
    $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$。
  2. 应用商法则：
    若$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$，则$f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。
    这里$u = \sin x$，$v = \cos x$，则$u' = \cos x$，$v' = -\sin x$。
  3. 代入公式计算：
    $(\tan x)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}.$
  4. 化简分子：
    利用$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$，得：
    $(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$

方法二：乘积法则

  1. 分解$\tan x$为乘积：
    $\tan x = \sin x \cdot \frac{1}{\cos x}$。
  2. 应用乘积法则：
    若$f(x) = u(x) \cdot v(x)$，则$f'(x) = u'v + uv'$。
    这里$u = \sin x$，$v = \frac{1}{\cos x}$，则$u' = \cos x$，$v' = \frac{\sin x}{\cos^2 x}$。
  3. 代入公式计算：
    $(\tan x)' = \cos x \cdot \frac{1}{\cos x} + \sin x \cdot \frac{\sin x}{\cos^2 x} = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}.$
  4. 通分合并：
    $1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.$