证明:cos xgt 1-dfrac ({x)^2}(2)-|||-__。

步骤 1：利用三角恒等式
我们知道，对于任意实数$x$，有$|x|\geqslant |\sin x|$。这是因为正弦函数的值域为$[-1,1]$，而$x$的绝对值可以是任意非负实数。
步骤 2：平方不等式
将上述不等式两边平方，得到${x}^{2}\geqslant {\sin }^{2}x$。这是因为平方操作保持了不等式的方向。
步骤 3：应用半角公式
利用半角公式${\sin }^{2}\dfrac {x}{2}=\dfrac{1-\cos x}{2}$，将不等式${x}^{2}\geqslant {\sin }^{2}x$转化为${x}^{2}\geqslant 2{\sin }^{2}\dfrac {x}{2}$。
步骤 4：代入半角公式
将${\sin }^{2}\dfrac {x}{2}=\dfrac{1-\cos x}{2}$代入上一步得到的不等式，得到${x}^{2}\geqslant 2\cdot\dfrac{1-\cos x}{2}$，即${x}^{2}\geqslant 1-\cos x$。
步骤 5：调整不等式
将上一步得到的不等式调整为$\cos x\geqslant 1-\dfrac{{x}^{2}}{2}$。注意，这里我们得到的是$\geqslant$，而不是题目要求的$\gt$。
步骤 6：考虑$x=0$的情况
当$x=0$时，$\cos x=1$，$1-\dfrac{{x}^{2}}{2}=1$，此时等号成立。对于$x\neq 0$的情况，由于$|x|\gt |\sin x|$，因此${x}^{2}\gt {\sin }^{2}x$，从而$\cos x\gt 1-\dfrac{{x}^{2}}{2}$。