题目

5.微分方程y^m-y=0的通解为y=____.

5.微分方程$y^{m}-y=0$的通解为y=____.

题目解答

答案

微分方程 $ y''' - y = 0 $ 的特征方程为 $ r^3 - 1 = 0 $，解得根为 $ r_1 = 1 $，$ r_2 = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} $，$ r_3 = \frac{-1 - i\sqrt{3}}{2} $。对应实数根 $ r_1 $ 的解为 $ e^x $，复数根 $ r_2 $、$ r_3 $ 的解为 $ e^{-\frac{x}{2}} \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) $ 和 $ e^{-\frac{x}{2}} \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) $。因此，通解为： \[ \boxed{C_1 e^x + C_2 e^{-\frac{x}{2}} \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) + C_3 e^{-\frac{x}{2}} \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right)} \] 其中，$ C_1 $，$ C_2 $，$ C_3 $ 为任意常数。

解析

考查要点：本题主要考查常系数齐次线性微分方程的解法，特别是三阶方程的特征根法。

解题核心思路：

  1. 构造特征方程：将微分方程中的导数项替换为对应的幂次，得到代数方程。
  2. 求解特征根：解三次方程，得到实根和共轭复根。
  3. 构造通解：根据特征根的类型（实根、复根），写出对应的解形式，并组合成通解。

破题关键点：

  • 正确写出特征方程：$r^3 - 1 = 0$。
  • 分解因式：利用立方差公式分解为$(r-1)(r^2 + r + 1) = 0$，简化求根过程。
  • 处理复数根：将共轭复根转化为实数解的形式，涉及指数函数与三角函数的组合。

步骤1：构造特征方程

微分方程为$y''' - y = 0$，对应特征方程为：
$r^3 - 1 = 0.$

步骤2：求解特征根

  1. 分解因式：
    $r^3 - 1 = (r - 1)(r^2 + r + 1) = 0.$
    解得实根$r_1 = 1$，复数根由$r^2 + r + 1 = 0$给出。
  2. 求解二次方程：
    判别式$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3$，根为：
    $r_{2,3} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}.$

步骤3：构造通解

  1. 实根$r_1 = 1$的解：
    $y_1 = e^{r_1 x} = e^x.$
  2. 复数根$r_{2,3} = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}$的解：
    • 写成$a \pm bi$形式：$a = -\frac{1}{2}$，$b = \frac{\sqrt{3}}{2}$。
    • 对应实数解为：
      $y_2 = e^{a x} \cos(b x) = e^{-\frac{x}{2}} \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right),$
      $y_3 = e^{a x} \sin(b x) = e^{-\frac{x}{2}} \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right).$
  3. 组合通解：
    通解为三个解的线性组合，即：
    $y = C_1 e^x + C_2 e^{-\frac{x}{2}} \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) + C_3 e^{-\frac{x}{2}} \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right).$