【判断题】如果二元函数f(x,y)点A处不连续,则f(x,y)在点A处x,y的偏导数在点A处必不存在.

考查要点：本题主要考查二元函数连续性与偏导数存在性之间的关系，明确两者之间的逻辑联系。

解题核心思路：
偏导数存在与函数连续在二元函数中是两个独立的概念。即使函数在某点不连续，其偏导数在该点仍有可能存在。因此，原命题的结论不成立。

破题关键点：

1. 偏导数存在不能推出函数连续（与一元函数不同）。
2. 反例的存在直接说明命题错误：存在函数在某点不连续但偏导数存在的实例。

关键结论：
二元函数在某点不连续时，其偏导数在该点可能仍然存在，因此原命题是错误的。

具体分析：

1. 偏导数的定义：偏导数仅反映函数沿坐标轴方向的变化率，与函数在其他方向的连续性无关。
2. 反例构造：
   设函数 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处定义为 $f(0,0)=0$，在其他点定义为 $f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}$。
   • 偏导数计算：
     $f_x(0,0)=\lim_{h \to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0$
     $f_y(0,0)=\lim_{k \to 0} \frac{f(0,k)-f(0,0)}{k}=0$
     因此，偏导数在 $(0,0)$ 处存在且为 $0$。
   • 连续性分析：
     沿路径 $y=kx$ 趋近于 $(0,0)$ 时，极限值为 $\frac{k}{1+k^2}$，与路径相关，故函数在 $(0,0)$ 处不连续。
3. 结论：该反例说明原命题不成立。