题目
[题目]设函数f(x)连续,则 dfrac (d)(dx)(int )_(0)^xtf((t)^2-(x)^2)dt= __-|||-_.
题目解答
答案
解析
步骤 1：换元
令 $u = t^2 - x^2$，则 $du = 2t dt$，且当 $t = 0$ 时，$u = -x^2$；当 $t = x$ 时，$u = 0$。
步骤 2：积分变换
将原积分 $\int_{0}^{x} tf(t^2 - x^2) dt$ 通过换元转换为 $\int_{-x^2}^{0} \frac{1}{2} f(u) du$。
步骤 3：求导
对变换后的积分求导，即求 $\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} \int_{-x^2}^{0} f(u) du \right)$。
步骤 4：应用微积分基本定理
根据微积分基本定理，$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} \int_{-x^2}^{0} f(u) du \right) = \frac{1}{2} f(-x^2) \cdot \frac{d}{dx}(-x^2) = -xf(x^2)$。
令 $u = t^2 - x^2$，则 $du = 2t dt$，且当 $t = 0$ 时，$u = -x^2$；当 $t = x$ 时，$u = 0$。
步骤 2：积分变换
将原积分 $\int_{0}^{x} tf(t^2 - x^2) dt$ 通过换元转换为 $\int_{-x^2}^{0} \frac{1}{2} f(u) du$。
步骤 3：求导
对变换后的积分求导，即求 $\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} \int_{-x^2}^{0} f(u) du \right)$。
步骤 4：应用微积分基本定理
根据微积分基本定理，$\frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} \int_{-x^2}^{0} f(u) du \right) = \frac{1}{2} f(-x^2) \cdot \frac{d}{dx}(-x^2) = -xf(x^2)$。