(int )_(0)^a(x)^2sqrt ({a)^2-(x)^2}dx(agt 0)

考查要点：本题主要考查定积分的计算，特别是利用三角替换法处理含根号的积分，以及运用三角恒等式简化被积函数的能力。

解题核心思路：

1. 三角替换：当积分中含有$\sqrt{a^2 - x^2}$时，通常令$x = a \sin t$，将根号转化为$a \cos t$，简化积分表达式。
2. 变量替换：将原积分变量$x$替换为$t$，并调整积分上下限。
3. 三角恒等式：利用$\sin^2 t \cos^2 t = \frac{1}{4} \sin^2 2t$和$\sin^2 2t = \frac{1}{2}(1 - \cos 4t)$，将积分转化为易计算的形式。

破题关键点：

• 正确选择替换变量，确保替换后积分表达式简化。
• 准确处理系数，避免在代数运算中出现错误。
• 灵活应用三角恒等式，分步骤拆分被积函数。

步骤1：变量替换
令$x = a \sin t$，则$dx = a \cos t \, dt$。当$x = 0$时，$t = 0$；当$x = a$时，$t = \frac{\pi}{2}$。原积分变为：
$\int_{0}^{a} x^2 \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (a^2 \sin^2 t) \cdot (a \cos t) \cdot (a \cos t \, dt)$

步骤2：化简积分表达式
将各项系数合并，得到：
$a^4 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 t \cos^2 t \, dt$

步骤3：应用三角恒等式
利用$\sin^2 t \cos^2 t = \frac{1}{4} \sin^2 2t$，积分变为：
$a^4 \cdot \frac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 2t \, dt$

步骤4：进一步简化被积函数
利用$\sin^2 2t = \frac{1}{2}(1 - \cos 4t)$，积分变为：
$\frac{a^4}{8} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \cos 4t) \, dt$

步骤5：分项积分
分别计算$\int 1 \, dt$和$\int \cos 4t \, dt$：
$\frac{a^4}{8} \left[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dt - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 4t \, dt \right]$

步骤6：计算具体积分值

1. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dt = \frac{\pi}{2}$
2. $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 4t \, dt = \frac{1}{4} \sin 4t \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 0$

最终结果为：
$\frac{a^4}{8} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{a^4 \pi}{16}$