[题目]一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周-|||-而成的曲面,该曲面由 ^2+(y)^2=2y(ygeqslant dfrac (1)(2)),-|||-^2+(y)^2=1(yleqslant dfrac (1)(2)) 连接而成.-|||-(1)求容器的容积.-|||-(2)若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽-|||-出,至少需要多少功?(长度单位:m ;重力加速度-|||-为 gm/s^2; 水的密度为 ^3kg/(m)^3

步骤 1：确定容器的形状和边界
容器的内侧是由两条曲线绕y轴旋转一周而成的曲面。这两条曲线分别是：
- ${x}^{2}+{y}^{2}=2y$，当 $y\geqslant \dfrac {1}{2}$ 时；
- ${x}^{2}+{y}^{2}=1$，当 $y\leqslant \dfrac {1}{2}$ 时。
这两条曲线在 $y=\dfrac{1}{2}$ 处相交，因此容器的边界为 $-1\leqslant y\leqslant 2$。

步骤 2：计算容器的容积
容器的容积可以通过计算两个部分的体积之和来得到。第一部分是 $-1\leqslant y\leqslant \dfrac{1}{2}$ 的圆柱体，第二部分是 $\dfrac{1}{2}\leqslant y\leqslant 2$ 的圆锥体。
- 对于 $-1\leqslant y\leqslant \dfrac{1}{2}$，容器的截面是半径为 $\sqrt{1-y^2}$ 的圆，因此体积为 $V_1=\pi\int_{-1}^{\frac{1}{2}}(1-y^2)dy$。
- 对于 $\dfrac{1}{2}\leqslant y\leqslant 2$，容器的截面是半径为 $\sqrt{2y-y^2}$ 的圆，因此体积为 $V_2=\pi\int_{\frac{1}{2}}^{2}(2y-y^2)dy$。
容器的总容积为 $V=V_1+V_2$。

步骤 3：计算将容器内的水从顶部全部抽出所需的功
将容器内的水从顶部全部抽出所需的功可以通过计算水的重力势能变化来得到。水的重力势能变化为 $W=\int_{-1}^{2}\rho g(2-y)\pi x^2dy$，其中 $\rho$ 是水的密度，$g$ 是重力加速度，$x^2$ 是容器在 $y$ 处的截面面积。
- 对于 $-1\leqslant y\leqslant \dfrac{1}{2}$，$x^2=1-y^2$。
- 对于 $\dfrac{1}{2}\leqslant y\leqslant 2$，$x^2=2y-y^2$。
因此，$W=\pi\rho g\int_{-1}^{\frac{1}{2}}(2-y)(1-y^2)dy+\pi\rho g\int_{\frac{1}{2}}^{2}(2-y)(2y-y^2)dy$。