线性方程组 } x_1 - 2x_2 = 1 -x_1 + 2x_2 = -1 有无穷多解。A. 对B. 错

本题考查线性方程组解的情况的判断，解题思路是通过对线性方程组的系数矩阵和增广矩阵进行分析，或者将方程组中的方程进行化简，判断方程组中方程之间的关系，进而确定方程组解的情况。

方法一：通过化简方程判断

对于给定的线性方程组$\begin{cases} x_1 - 2x_2 = 1 \\ -x_1 + 2x_2 = -1 \end{cases}$，将第二个方程$-x_1 + 2x_2 = -1$两边同时乘以$-1$，根据等式的基本性质：等式两边同时乘以同一个非零数，等式仍然成立。可得：
$(-1)\times(-x_1 + 2x_2)=(-1)\times(-1)$
即$x_1 - 2x_2 = 1$，这与第一个方程完全相同。
这意味着两个方程实际上是同一个方程，那么方程组就等价于一个方程$x_1 - 2x_2 = 1$。
对于方程$x_1 - 2x_2 = 1$，可以将其变形为$x_1 = 2x_2 + 1$。
此时，$x_2$可以取任意实数，每取一个$x_2$的值，都能通过$x_1 = 2x_2 + 1$得到一个对应的$x_1$的值，从而得到方程组的一组解。
所以，该线性方程组有无穷多解。

方法二：利用矩阵判断

线性方程组的增广矩阵为$\begin{pmatrix}1&-2&1\\-1&2&-1\end{pmatrix}$。
对增广矩阵进行初等行变换，将第一行加到第二行上，根据矩阵初等行变换规则：矩阵某一行加上另一行的倍数，矩阵的秩不变。可得：
$\begin{pmatrix}1&-2&1\\-1 + 1&2 + (-2)&-1 + 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-2&1\\0&0&0\end{pmatrix}$
此时，系数矩阵的秩$r(A)=1$，增广矩阵的秩$r(\overline{A}) = 1$，且未知数的个数$n = 2$。
根据线性方程组解的判定定理：当$r(A)=r(\overline{A})=n$时，方程组有唯一解；当$r(A)=r(\overline{A})\lt n$时，方程组有无穷多解；当$r(A)\neq r(\overline{A})$时，方程组无解。
因为$r(A)=r(\overline{A}) = 1\lt 2=n$，所以该线性方程组有无穷多解。