题目
16.（判断题，4.0分）设二元函数在点(x_(0),y_(0))处可微，则函数在该点处沿任意方向的方向导数都存在.A. 对B. 错
16.（判断题，4.0分）
设二元函数在点$(x_{0},y_{0})$处可微，则函数在该点处沿任意方向的方向导数都存在.
A. 对
B. 错
题目解答
答案
A. 对
解析
步骤 1：二元函数可微的定义
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微，意味着存在两个偏导数 $f_x(x_0, y_0)$ 和 $f_y(x_0, y_0)$，并且函数的全增量可以表示为： \[ f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0) \Delta x + f_y(x_0, y_0) \Delta y + o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}), \] 其中 $o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2})$ 是高阶无穷小，即当 $(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)$ 时，$\frac{o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2})}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} \to 0$。
步骤 2：方向导数的定义
对于任意单位向量 $\mathbf{u} = \langle a, b \rangle$（$a^2 + b^2 = 1$），函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处沿方向 $\mathbf{u}$ 的方向导数定义为： \[ D_{\mathbf{u}} f(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ha, y_0 + hb) - f(x_0, y_0)}{h}. \]
步骤 3：方向导数的存在性
根据二元函数可微的定义，当 $(\Delta x, \Delta y) = (ha, hb)$ 时，有： \[ f(x_0 + ha, y_0 + hb) - f(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0) ha + f_y(x_0, y_0) hb + o(\sqrt{(ha)^2 + (hb)^2}). \] 因此，方向导数为： \[ D_{\mathbf{u}} f(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ha, y_0 + hb) - f(x_0, y_0)}{h} = f_x(x_0, y_0) a + f_y(x_0, y_0) b. \] 该极限存在且等于线性组合 $f_x(x_0, y_0) a + f_y(x_0, y_0) b$。因此，函数在该点沿任意方向的方向导数都存在。
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处可微，意味着存在两个偏导数 $f_x(x_0, y_0)$ 和 $f_y(x_0, y_0)$，并且函数的全增量可以表示为： \[ f(x_0 + \Delta x, y_0 + \Delta y) - f(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0) \Delta x + f_y(x_0, y_0) \Delta y + o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}), \] 其中 $o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2})$ 是高阶无穷小，即当 $(\Delta x, \Delta y) \to (0, 0)$ 时，$\frac{o(\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2})}{\sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}} \to 0$。
步骤 2：方向导数的定义
对于任意单位向量 $\mathbf{u} = \langle a, b \rangle$（$a^2 + b^2 = 1$），函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 处沿方向 $\mathbf{u}$ 的方向导数定义为： \[ D_{\mathbf{u}} f(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ha, y_0 + hb) - f(x_0, y_0)}{h}. \]
步骤 3：方向导数的存在性
根据二元函数可微的定义，当 $(\Delta x, \Delta y) = (ha, hb)$ 时，有： \[ f(x_0 + ha, y_0 + hb) - f(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0) ha + f_y(x_0, y_0) hb + o(\sqrt{(ha)^2 + (hb)^2}). \] 因此，方向导数为： \[ D_{\mathbf{u}} f(x_0, y_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + ha, y_0 + hb) - f(x_0, y_0)}{h} = f_x(x_0, y_0) a + f_y(x_0, y_0) b. \] 该极限存在且等于线性组合 $f_x(x_0, y_0) a + f_y(x_0, y_0) b$。因此，函数在该点沿任意方向的方向导数都存在。