题目
求函数=dfrac ({(x-3))^2}(x-1)的单调区间和极值.
求函数
的单调区间和极值.
题目解答
答案
解：令
则该函数的定义域为
即
∵
∴
令
，则有
即
∴
当
变化时，
的变化情况如下表：
由表可知该函数的单调增区间是
和
；单调减区间是
和
。
当
时，
为极大值；
当
时，
为极小值。
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数$y=\dfrac {{(x-3)}^{2}}{x-1}$的导数$f'(x)$。使用商的求导法则，我们有：
$$f'(x) = \dfrac{2(x-3)(x-1) - (x-3)^2}{(x-1)^2}$$
化简得：
$$f'(x) = \dfrac{(x+1)(x-3)}{(x-1)^2}$$
步骤 2：求临界点
令$f'(x) = 0$，解得$x = -1$和$x = 3$。这两个点是函数的临界点，可能为极值点。
步骤 3：确定单调区间
根据$f'(x)$的符号，我们可以确定函数的单调区间。当$x < -1$或$x > 3$时，$f'(x) > 0$，函数单调递增；当$-1 < x < 1$或$1 < x < 3$时，$f'(x) < 0$，函数单调递减。
步骤 4：求极值
在$x = -1$时，$f(-1) = \dfrac{(-1-3)^2}{-1-1} = -8$，为极大值；在$x = 3$时，$f(3) = \dfrac{(3-3)^2}{3-1} = 0$，为极小值。
首先，我们需要求出函数$y=\dfrac {{(x-3)}^{2}}{x-1}$的导数$f'(x)$。使用商的求导法则，我们有：
$$f'(x) = \dfrac{2(x-3)(x-1) - (x-3)^2}{(x-1)^2}$$
化简得：
$$f'(x) = \dfrac{(x+1)(x-3)}{(x-1)^2}$$
步骤 2：求临界点
令$f'(x) = 0$，解得$x = -1$和$x = 3$。这两个点是函数的临界点，可能为极值点。
步骤 3：确定单调区间
根据$f'(x)$的符号，我们可以确定函数的单调区间。当$x < -1$或$x > 3$时，$f'(x) > 0$，函数单调递增；当$-1 < x < 1$或$1 < x < 3$时，$f'(x) < 0$，函数单调递减。
步骤 4：求极值
在$x = -1$时，$f(-1) = \dfrac{(-1-3)^2}{-1-1} = -8$，为极大值；在$x = 3$时，$f(3) = \dfrac{(3-3)^2}{3-1} = 0$，为极小值。