一无限长薄壁金属筒,沿轴线方向有均匀电流流通,面电流密度为 j(A/m) 。求-|||-单位面积筒壁受的磁力的大小和方向。

考查要点：本题主要考查载流导体的磁场计算及安培力的积分方法，需结合对称性分析简化计算。

解题核心思路：

1. 分解电流片：将薄壁筒沿轴向和周向微分，得到微小电流片。
2. 计算微小力：利用毕奥-萨伐尔定律或安培环路定理求出微小电流片受其他电流的磁场作用力。
3. 对称性简化：分析磁场对称性，发现垂直径向的分量相互抵消，仅保留径向分量。
4. 积分求总力：对所有电流片的径向分量积分，得到单位面积受力。

破题关键点：

• 正确建立微分电流片模型，明确其电流和受力方向。
• 利用对称性排除非径向分量，简化积分过程。
• 正确应用磁场公式，注意几何关系中的角度和距离。

分解电流片

取筒壁上宽为$dl$（周向）、长为$dL$（轴向）的微小电流片，其电流为：
$dI = j \cdot dl \cdot dL$

计算微小力

考虑筒壁上另一长条电流（宽度$Rd\theta$，长$dL$）对微小电流片的磁场作用：

1. 磁场方向：由对称性，长条电流在微小电流片处产生的磁场为环向，大小为：
   $dB = \frac{\mu_0 dI}{2\pi a} = \frac{\mu_0 j Rd\theta dL}{2\pi a}$
   其中$a = R\sin(\theta/2)$为微小电流片到长条电流的距离。
2. 安培力方向：电流方向轴向，磁场方向环向，故力方向径向向内。
3. 微小力表达式：
   $dF = dI \cdot dL \cdot dB \cdot \sin\frac{\theta}{2} = \frac{\mu_0 j^2 Rd\theta dL}{4\pi \sin(\theta/2)}$

积分总力

1. 单位面积力：
   $dF_1 = \frac{dF}{dl dL} = \frac{\mu_0 j^2 d\theta}{4\pi \sin(\theta/2)}$
2. 对称性简化：垂直径向分量相互抵消，仅保留径向分量：
   $F_R = \int dF_1 \sin\frac{\theta}{2} \, d\theta$
3. 积分计算：
   $F_R = \int_0^{2\pi} \frac{\mu_0 j^2}{4\pi} d\theta = \frac{\mu_0 j^2}{2}$