求微分方程ln xdy+(y-ln x)dx=0满足条件ln xdy+(y-ln x)dx=0的特解..

考查要点：本题主要考查微分方程的求解，特别是通过恰当方程或变量替换的方法将方程转化为可积分形式。

解题核心思路：

1. 观察方程结构，尝试将方程整理为全微分形式。
2. 引入变量替换（如 $v = y \ln x$），简化方程。
3. 积分求解，并利用初始条件确定常数。

破题关键点：

• 识别方程中的全微分项 $x \, d(y \ln x)$，将原方程转化为可直接积分的形式。
• 正确应用积分技巧，特别是对 $\frac{\ln x}{x} \, dx$ 的积分。

步骤1：整理方程
原方程为：
$x \ln x \, dy + (y - \ln x) \, dx = 0$
将方程拆分为两部分：
$x \ln x \, dy + y \, dx - \ln x \, dx = 0$

步骤2：识别全微分项
注意到 $x \ln x \, dy + y \, dx$ 可表示为：
$x \, d(y \ln x) = x \left( \ln x \, dy + \frac{y}{x} \, dx \right) = x \ln x \, dy + y \, dx$
因此，原方程可改写为：
$x \, d(y \ln x) - \ln x \, dx = 0$

步骤3：分离变量并积分
整理得：
$x \, d(y \ln x) = \ln x \, dx$
两边除以 $x$：
$d(y \ln x) = \frac{\ln x}{x} \, dx$
对两边积分：
$y \ln x = \int \frac{\ln x}{x} \, dx$

步骤4：计算积分
令 $u = (\ln x)^2$，则 $du = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} \, dx$，积分得：
$\int \frac{\ln x}{x} \, dx = \frac{1}{2} (\ln x)^2 + C$

步骤5：代入初始条件
当 $x = e$ 时，$\ln e = 1$，代入方程：
$y \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot 1^2 + C \implies y = \frac{1}{2} + C$
根据题目条件（假设此处隐含 $y(e) = 1$），解得 $C = \frac{1}{2}$。