题目

【例7.16】已知函数f(t)=int_(1)^t^(2)dxint_(sqrt(x))^tsin(x)/(y)dy,则f'((pi)/(2))=____.

【例7.16】已知函数$f(t)=\int_{1}^{t^{2}}dx\int_{\sqrt{x}}^{t}\sin\frac{x}{y}dy$,则$f'(\frac{\pi}{2})=$____.

题目解答

答案

交换积分次序后，原积分变为 \[ f(t) = \int_{1}^{t} dy \int_{1}^{y^2} \sin \frac{x}{y} \, dx. \] 令 $ u = \frac{x}{y} $，则 \[ \int_{1}^{y^2} \sin \frac{x}{y} \, dx = y \int_{\frac{1}{y}}^{y} \sin u \, du = y \left( \cos \frac{1}{y} - \cos y \right). \] 故 \[ f(t) = \int_{1}^{t} y \left( \cos \frac{1}{y} - \cos y \right) \, dy. \] 对 $ t $ 求导得 \[ f'(t) = t \left( \cos \frac{1}{t} - \cos t \right). \] 代入 $ t = \frac{\pi}{2} $，得 \[ f' \left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2} \cos \frac{2}{\pi}. \] **答案：** $\boxed{\frac{\pi}{2} \cos \frac{2}{\pi}}$

解析

考查要点：本题主要考查二重积分交换积分次序、变量替换以及变上限积分求导的应用。

解题核心思路：

  1. 交换积分次序：原积分上下限复杂，需通过交换积分次序简化计算。
  2. 变量替换：对内层积分进行变量替换，将被积函数转化为易积分形式。
  3. 变上限积分求导：将二重积分转化为单积分后，直接应用微积分基本定理求导。

破题关键点：

  • 积分区域分析：通过画图确定交换积分次序后的上下限。
  • 变量替换技巧：通过令$u = \frac{x}{y}$简化内层积分。
  • 导数公式应用：对变上限积分直接求导，无需展开积分。

交换积分次序
原积分区域为：$1 \leq x \leq t^2$，$\sqrt{x} \leq y \leq t$。交换积分次序后，$y$的范围变为$1 \leq y \leq t$，对应的$x$范围为$1 \leq x \leq y^2$。因此，原积分可改写为：
$f(t) = \int_{1}^{t} dy \int_{1}^{y^2} \sin \frac{x}{y} \, dx.$

变量替换
对内层积分$\int_{1}^{y^2} \sin \frac{x}{y} \, dx$，令$u = \frac{x}{y}$，则$x = yu$，$dx = y \, du$。积分上下限变为$u = \frac{1}{y}$到$u = y$，得：
$\int_{1}^{y^2} \sin \frac{x}{y} \, dx = y \int_{\frac{1}{y}}^{y} \sin u \, du = y \left( \cos \frac{1}{y} - \cos y \right).$

求导
将$f(t)$表示为：
$f(t) = \int_{1}^{t} y \left( \cos \frac{1}{y} - \cos y \right) \, dy.$
对$t$求导，根据变上限积分求导公式：
$f'(t) = t \left( \cos \frac{1}{t} - \cos t \right).$

代入$t = \frac{\pi}{2}$
$f'\left( \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi}{2} \cos \frac{2}{\pi}.$