题目
级数sum _(n=1)^infty dfrac ({x)^n}(ncdot {2)^n}的收敛域为_____.正确答案:[一2,2)
级数
的收敛域为_____.
正确答案:[一2,2)
题目解答
答案
解析:
,收敛半径R=2,收敛区间(一2,2),x=2时,
x=一2时,
收敛,所以收敛域为[一2,2).
解析
步骤 1：确定收敛半径
首先，我们使用比值判别法来确定级数的收敛半径。比值判别法的公式为$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}\right|$,其中${a}_{n}=\dfrac {{x}^{n}}{n\cdot {2}^{n}}$。计算$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac {x^{n+1}}{(n+1)\cdot 2^{n+1}}\cdot \dfrac {n\cdot 2^{n}}{x^{n}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac {x}{2}\cdot \dfrac {n}{n+1}\right|=\dfrac {|x|}{2}$。收敛半径R满足$\dfrac {|x|}{2}<1$，即$|x|<2$，所以收敛半径R=2。
步骤 2：确定收敛区间
根据收敛半径，收敛区间为(一2,2)。接下来，我们需要检查端点x=2和x=一2时级数的收敛性。
步骤 3：检查端点x=2时的收敛性
当x=2时，级数变为$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$，这是一个调和级数，它是发散的。
步骤 4：检查端点x=一2时的收敛性
当x=一2时，级数变为$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {1}{n}$，这是一个交错级数。根据莱布尼茨判别法，如果级数$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}b_{n}$满足$b_{n}$单调递减且$\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=0$，则级数收敛。在这个例子中，$b_{n}=\dfrac {1}{n}$满足这些条件，所以级数收敛。
首先，我们使用比值判别法来确定级数的收敛半径。比值判别法的公式为$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}\right|$,其中${a}_{n}=\dfrac {{x}^{n}}{n\cdot {2}^{n}}$。计算$\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac {{a}_{n+1}}{{a}_{n}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac {x^{n+1}}{(n+1)\cdot 2^{n+1}}\cdot \dfrac {n\cdot 2^{n}}{x^{n}}\right|=\lim _{n\rightarrow \infty }\left|\dfrac {x}{2}\cdot \dfrac {n}{n+1}\right|=\dfrac {|x|}{2}$。收敛半径R满足$\dfrac {|x|}{2}<1$，即$|x|<2$，所以收敛半径R=2。
步骤 2：确定收敛区间
根据收敛半径，收敛区间为(一2,2)。接下来，我们需要检查端点x=2和x=一2时级数的收敛性。
步骤 3：检查端点x=2时的收敛性
当x=2时，级数变为$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$，这是一个调和级数，它是发散的。
步骤 4：检查端点x=一2时的收敛性
当x=一2时，级数变为$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {1}{n}$，这是一个交错级数。根据莱布尼茨判别法，如果级数$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}b_{n}$满足$b_{n}$单调递减且$\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}=0$，则级数收敛。在这个例子中，$b_{n}=\dfrac {1}{n}$满足这些条件，所以级数收敛。