1.设曲面 3x^2+y^2-z^2=27的切平面通过直线L:}10x+2y-2z=27,x+y-z=0.求此切平面的方程.

本题考查曲面的切平面方程以及平面束方程的应用。解题的关键思路是先求出曲面在切点处的法向量，再利用平面束方程表示过已知直线的所有平面，通过法向量平行建立等式关系，结合曲面方程求解出切点坐标，进而得到切平面方程。

1. 求曲面在切点处的法向量：
   已知曲面方程为$F(x,y,z)=3x^{2}+y^{2}-z^{2}-27 = 0$，根据求偏导数的方法，分别对$x$、$y$、$z$求偏导数：
   • $\frac{\partial F}{\partial x}=6x$
   • $\frac{\partial F}{\partial y}=2y$
   • $\frac{\partial F}{\partial z}=-2z$
     设切点为$P_0(x_0, y_0, z_0)$，则曲面在该点的法向量为$\mathbf{n} = (\frac{\partial F}{\partial x}|_{(x_0,y_0,z_0)},\frac{\partial F}{\partial y}|_{(x_0,y_0,z_0)},\frac{\partial F}{\partial z}|_{(x_0,y_0,z_0)})=(6x_0, 2y_0, -2z_0)$。
2. 写出过直线$L$的平面束方程：
   对于直线$L:\begin{cases}10x + 2y - 2z = 27\\x + y - z = 0\end{cases}$，过直线$L$的平面束方程为$(10x + 2y - 2z - 27)+\lambda(x + y - z)=0$，整理可得$(10 + \lambda)x + (2 + \lambda)y - (2 + \lambda)z = 27$。
3. 根据法向量平行建立等式关系：
   因为切平面与平面束中的平面重合，所以它们的法向量平行。平面束方程所表示平面的法向量为$\mathbf{n_1}=(10 + \lambda, 2 + \lambda, -(2 + \lambda))$，则有$\frac{6x_0}{10 + \lambda} = \frac{2y_0}{2 + \lambda} = \frac{-2z_0}{-(2 + \lambda)}$。
   由$\frac{2y_0}{2 + \lambda} = \frac{-2z_0}{-(2 + \lambda)}$可得$y_0 = z_0$。
4. 结合曲面方程求解$x_0$的值：
   将$y_0 = z_0$代入曲面方程$3x_0^{2}+y_0^{2}-z_0^{2}=27$，得到$3x_0^2 + y_0^2 - y_0^2 = 27$，即$3x_0^2 = 27$，解方程$x_0^2 = 9$可得$x_0 = \pm 3$。
5. 分情况求出切平面方程：
   • 当$x_0 = 3$时，代入$\frac{6x_0}{10 + \lambda} = \frac{2y_0}{2 + \lambda}$，因为$y_0 = z_0$，不妨取$y_0 = z_0 = 0$（不影响结果），则$\frac{6\times3}{10 + \lambda} = \frac{2\times0}{2 + \lambda}$，解得$\lambda = -1$。
     将$\lambda = -1$代入平面束方程$(10 + \lambda)x + (2 + \lambda)y - (2 + \lambda)z = 27$，得到$(10 - 1)x + (2 - 1)y - (2 - 1)z = 27$，即$9x + y - z = 27$，移项可得$9x + y - z - 27 = 0$。
   • 当$x_0 = -3$时，代入$\frac{6x_0}{10 + \lambda} = \frac{2y_0}{2 + \lambda}$，取$y_0 = z_0 = 0$，则$\frac{6\times(-3)}{10 + \lambda} = \frac{2\times0}{2 + \lambda}$，解得$\lambda = -19$。
     将$\lambda = -19$代入平面束方程$(10 + \lambda)x + (2 + \lambda)y - (2 + \lambda)z = 27$，得到$(10 - 19)x + (2 - 19)y - (2 - 19)z = 27$，即$-9x - 17y + 17z = 27$，两边同时乘以$-1$得$9x + 17y - 17z = -27$，移项可得$9x + 17y - 17z + 27 = 0$。