9.求曲面 =(x)^2(1-sin y)+(y)^2(1-sin x) 在点(1,0,1)处的切平面方程.

步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算曲面 $z={x}^{2}(1-\sin y)+{y}^{2}(1-\sin x)$ 在点 (1,0,1) 处的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial z}{\partial y}$。
- $\frac{\partial z}{\partial x} = 2x(1-\sin y) - y^2\cos x$
- $\frac{\partial z}{\partial y} = -x^2\cos y + 2y(1-\sin x)$

步骤 2：代入点 (1,0,1)
将点 (1,0,1) 代入上述偏导数中，得到：
- $\frac{\partial z}{\partial x}|_{(1,0,1)} = 2(1)(1-\sin 0) - (0)^2\cos 1 = 2$
- $\frac{\partial z}{\partial y}|_{(1,0,1)} = -(1)^2\cos 0 + 2(0)(1-\sin 1) = -1$

步骤 3：写出切平面方程
切平面方程的一般形式为 $z-z_0 = \frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}(x-x_0) + \frac{\partial z}{\partial y}|_{(x_0,y_0)}(y-y_0)$，其中 $(x_0,y_0,z_0)$ 是切点坐标。
代入点 (1,0,1) 和偏导数，得到切平面方程：
$z-1 = 2(x-1) - 1(y-0)$
化简得到：
$2x - y - z = 1$