题目
2、二重积分iintlimits_(D)xydxdy（其中D:0le yle x^2,0le xle 1）的值为（）。A. (1)/(6)B. (1)/(12)C. (1)/(2)D. (1)/(4)
2、二重积分$\iint\limits_{D}xydxdy$（其中$D:0\le y\le x^{2},0\le x\le 1$）的值为（）。
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{12}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{4}$
题目解答
答案
B. $\frac{1}{12}$
解析
步骤 1：确定积分区域
根据题目中的条件，积分区域 $D$ 由 $0 \leq y \leq x^2$ 和 $0 \leq x \leq 1$ 确定。这意味着 $y$ 的取值范围依赖于 $x$ 的取值，而 $x$ 的取值范围是 $[0, 1]$。
步骤 2：将二重积分转换为累次积分
将二重积分 $\iint\limits_{D} xy \, dx \, dy$ 转换为累次积分，先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分： \[ \iint\limits_{D} xy \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^2} xy \, dy \, dx \]
步骤 3：计算内积分
先计算内积分 $\int_{0}^{x^2} xy \, dy$： \[ \int_{0}^{x^2} xy \, dy = \left. \frac{xy^2}{2} \right|_{0}^{x^2} = \frac{x(x^2)^2}{2} = \frac{x^5}{2} \]
步骤 4：计算外积分
再计算外积分 $\int_{0}^{1} \frac{x^5}{2} \, dx$： \[ \int_{0}^{1} \frac{x^5}{2} \, dx = \left. \frac{x^6}{12} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{12} \]
根据题目中的条件，积分区域 $D$ 由 $0 \leq y \leq x^2$ 和 $0 \leq x \leq 1$ 确定。这意味着 $y$ 的取值范围依赖于 $x$ 的取值，而 $x$ 的取值范围是 $[0, 1]$。
步骤 2：将二重积分转换为累次积分
将二重积分 $\iint\limits_{D} xy \, dx \, dy$ 转换为累次积分，先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分： \[ \iint\limits_{D} xy \, dx \, dy = \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^2} xy \, dy \, dx \]
步骤 3：计算内积分
先计算内积分 $\int_{0}^{x^2} xy \, dy$： \[ \int_{0}^{x^2} xy \, dy = \left. \frac{xy^2}{2} \right|_{0}^{x^2} = \frac{x(x^2)^2}{2} = \frac{x^5}{2} \]
步骤 4：计算外积分
再计算外积分 $\int_{0}^{1} \frac{x^5}{2} \, dx$： \[ \int_{0}^{1} \frac{x^5}{2} \, dx = \left. \frac{x^6}{12} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{12} \]