题目
小王从图书馆借了一本书，书共204页，阅读时，他发现书的前半部分有连续的4个页码被墨水污染，将其余200个页码加总，其和刚好可以被85整除，则被污染的4个页码中最小的数是（）。A. 100B. 95C. 75D. 41
小王从图书馆借了一本书，书共204页，阅读时，他发现书的前半部分有连续的4个页码被墨水污染，将其余200个页码加总，其和刚好可以被85整除，则被污染的4个页码中最小的数是（）。
- A. 100
- B. 95
- C. 75
- D. 41
题目解答
答案
D
解析
步骤 1：计算前204页的总和
前204页的总和可以通过等差数列求和公式计算，即 \(S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\)，其中 \(n = 204\)，\(a_1 = 1\)，\(a_n = 204\)。因此，总和 \(S = \frac{204(1 + 204)}{2} = 20904\)。
步骤 2：计算被污染的4个页码的总和
由于200个页码的总和可以被85整除，我们设被污染的4个页码的总和为 \(x\)，则有 \(20904 - x\) 可以被85整除。即 \(20904 - x = 85k\)，其中 \(k\) 是整数。因此，\(x = 20904 - 85k\)。
步骤 3：确定被污染的4个页码
由于被污染的4个页码是连续的，设最小的页码为 \(n\)，则这4个页码的总和为 \(n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6\)。因此，\(4n + 6 = 20904 - 85k\)。我们需要找到一个合适的 \(k\) 值，使得 \(4n + 6\) 是一个合理的页码总和。通过尝试，我们发现当 \(k = 246\) 时，\(4n + 6 = 20904 - 85 \times 246 = 166\)，解得 \(n = 40\)。因此，被污染的4个页码为40、41、42、43，最小的页码为41。
前204页的总和可以通过等差数列求和公式计算，即 \(S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}\)，其中 \(n = 204\)，\(a_1 = 1\)，\(a_n = 204\)。因此，总和 \(S = \frac{204(1 + 204)}{2} = 20904\)。
步骤 2：计算被污染的4个页码的总和
由于200个页码的总和可以被85整除，我们设被污染的4个页码的总和为 \(x\)，则有 \(20904 - x\) 可以被85整除。即 \(20904 - x = 85k\)，其中 \(k\) 是整数。因此，\(x = 20904 - 85k\)。
步骤 3：确定被污染的4个页码
由于被污染的4个页码是连续的，设最小的页码为 \(n\)，则这4个页码的总和为 \(n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 6\)。因此，\(4n + 6 = 20904 - 85k\)。我们需要找到一个合适的 \(k\) 值，使得 \(4n + 6\) 是一个合理的页码总和。通过尝试，我们发现当 \(k = 246\) 时，\(4n + 6 = 20904 - 85 \times 246 = 166\)，解得 \(n = 40\)。因此，被污染的4个页码为40、41、42、43，最小的页码为41。