题目
设函数在区间上连续，在内可导，，证明：存在，使得.
设函数
在区间
上连续，在
内可导，
，证明：存在
，使得
.
题目解答
答案
我们构造出函数
，已知，可得到
，已知函数在区间上连续，在内可导，利用罗尔定理，则存在，使得
，即，故命题得证.
解析
步骤 1：构造辅助函数
构造辅助函数$F(x)=f(x)\arctan x-x$，已知$f(1)=\dfrac {4}{\pi }$，则$F(1)=f(1)\arctan 1-1=\dfrac {4}{\pi }\cdot \dfrac {\pi }{4}-1=0$，同时$F(0)=f(0)\arctan 0-0=0$，因此$F(0)=F(1)=0$。
步骤 2：应用罗尔定理
由于函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$F(0)=F(1)=0$，根据罗尔定理，存在$\xi \in (0,1)$，使得$F'(\xi )=0$。
步骤 3：计算导数并求解
计算$F(x)$的导数$F'(x)=f'(x)\arctan x+\dfrac {f(x)}{1+x^2}-1$，则$F'(\xi )=f'(\xi )\arctan \xi +\dfrac {f(\xi )}{1+\xi ^2}-1=0$，即$f'(\xi )\arctan \xi +\dfrac {f(\xi )}{1+\xi ^2}=1$，进一步整理得到$f'(\xi )+\dfrac {f(\xi )}{(1+\xi ^2)\arctan \xi }=\dfrac {1}{\arctan \xi }$。
构造辅助函数$F(x)=f(x)\arctan x-x$，已知$f(1)=\dfrac {4}{\pi }$，则$F(1)=f(1)\arctan 1-1=\dfrac {4}{\pi }\cdot \dfrac {\pi }{4}-1=0$，同时$F(0)=f(0)\arctan 0-0=0$，因此$F(0)=F(1)=0$。
步骤 2：应用罗尔定理
由于函数$f(x)$在区间$[0,1]$上连续，在$(0,1)$内可导，且$F(0)=F(1)=0$，根据罗尔定理，存在$\xi \in (0,1)$，使得$F'(\xi )=0$。
步骤 3：计算导数并求解
计算$F(x)$的导数$F'(x)=f'(x)\arctan x+\dfrac {f(x)}{1+x^2}-1$，则$F'(\xi )=f'(\xi )\arctan \xi +\dfrac {f(\xi )}{1+\xi ^2}-1=0$，即$f'(\xi )\arctan \xi +\dfrac {f(\xi )}{1+\xi ^2}=1$，进一步整理得到$f'(\xi )+\dfrac {f(\xi )}{(1+\xi ^2)\arctan \xi }=\dfrac {1}{\arctan \xi }$。