题目
定积分 int abu(x) , v'(x) , dx 使用分部积分法则后，结果为（）A. u(b) , v(b) , - , u(a) , v(a) , - , fabu'(x) , v(x) , dxB. u(b) , v(b) , - , u(a) , v(a) , + , fabu'(x) , v(x) , dxC. u(b) , v(a) , - , u(a) , v(b) , + , fabu'(x) , v(x) , dxD. u(b) , v(a) , - , u(a) , v(b) , - , fabu'(x) , v(x) , dx
定积分 $\int abu(x) \, v'(x) \, dx$ 使用分部积分法则后，结果为（） A. $u(b) \, v(b) \, - \, u(a) \, v(a) \, - \, fabu'(x) \, v(x) \, dx$ B. $u(b) \, v(b) \, - \, u(a) \, v(a) \, + \, fabu'(x) \, v(x) \, dx$ C. $u(b) \, v(a) \, - \, u(a) \, v(b) \, + \, fabu'(x) \, v(x) \, dx$ D. $u(b) \, v(a) \, - \, u(a) \, v(b) \, - \, fabu'(x) \, v(x) \, dx$
题目解答
答案
我们来分析这道题，题目是关于**定积分的分部积分法**。
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### 一、题目回顾：
题目给出的积分是：
$$
\int_a^b u(x) \, v'(x) \, dx
$$
要求我们使用**分部积分法**，求出结果。
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### 二、分部积分法公式（定积分形式）：
分部积分法的公式为：
$$
\int_a^b u(x) \, v'(x) \, dx = \left[ u(x) \, v(x) \right]_a^b - \int_a^b u'(x) \, v(x) \, dx
$$
也就是：
$$
\int_a^b u(x) \, v'(x) \, dx = u(b) \, v(b) - u(a) \, v(a) - \int_a^b u'(x) \, v(x) \, dx
$$
---
### 三、对比选项：
我们来看选项：
- A. $ u(b) \, v(b) - u(a) \, v(a) - \int_a^b u'(x) \, v(x) \, dx $
- B. $ u(b) \, v(b) - u(a) \, v(a) + \int_a^b u'(x) \, v(x) \, dx $
- C. $ u(b) \, v(a) - u(a) \, v(b) + \int_a^b u'(x) \, v(x) \, dx $
- D. $ u(b) \, v(a) - u(a) \, v(b) - \int_a^b u'(x) \, v(x) \, dx $
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### 四、正确答案分析：
根据分部积分公式，结果是：
$$
u(b) \, v(b) - u(a) \, v(a) - \int_a^b u'(x) \, v(x) \, dx
$$
这正好对应选项 **A**。
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### ✅ 最终答案：
$$
\boxed{\text{A}}
$$
解析
本题考查定积分的分部积分法的应用。关键在于正确记忆并应用分部积分公式，特别注意定积分形式中上下限代入后的表达式形式，以及积分项的符号变化。
核心思路：
分部积分法的核心公式为 $\int_a^b u(x) v'(x) \, dx = \left[ u(x) v(x) \right]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \, dx$。需注意：
- 上下限代入：$\left[ u(x) v(x) \right]_a^b = u(b) v(b) - u(a) v(a)$；
- 积分项符号：原积分中的 $u(x) v'(x)$ 转换为 $- \int_a^b u'(x) v(x) \, dx$。
根据分部积分公式：
$\int_a^b u(x) v'(x) \, dx = \left[ u(x) v(x) \right]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \, dx$
-
代入上下限：
$\left[ u(x) v(x) \right]_a^b = u(b) v(b) - u(a) v(a)$； -
整理积分项：
原积分转换为 $- \int_a^b u'(x) v(x) \, dx$。
对比选项：
- 选项A 符合公式结果；
- 选项B 积分项符号错误；
- 选项C、D 上下限代入错误。