题目
给定三个矢量 A、B、C 如下:A = e_x 11 + e_y 9 + e_z 18, B = e_x 17 + e_y 9 + e_z 27, C = e_x 4 - e_y 6 + e_z 5(1) 证明三个矢量在同一平面上;(2) 求矢量 A 的单位矢量 e_A;(3) 求 A times B, A cdot C.
给定三个矢量 A、B、C 如下:
$A = e_x 11 + e_y 9 + e_z 18$, $B = e_x 17 + e_y 9 + e_z 27$, $C = e_x 4 - e_y 6 + e_z 5$
(1) 证明三个矢量在同一平面上;
(2) 求矢量 A 的单位矢量 $e_A$;
(3) 求 $A \times B$, $A \cdot C$.
题目解答
答案
1. 根据行列式计算：
\[
\begin{vmatrix}
11 & 9 & 18 \\
17 & 9 & 27 \\
4 & -6 & 5
\end{vmatrix} = 0
\]
故 $ \mathbf{A} $、$ \mathbf{B} $、$ \mathbf{C} $ 共面。
2. 矢量 $ \mathbf{A} $ 的单位矢量为：
\[
\mathbf{e}_A = \frac{11}{\sqrt{526}} \mathbf{e}_x + \frac{9}{\sqrt{526}} \mathbf{e}_y + \frac{18}{\sqrt{526}} \mathbf{e}_z
\]
3. 叉积与点积分别为：
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = 81 \mathbf{e}_x + 9 \mathbf{e}_y - 54 \mathbf{e}_z
\]
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{C} = 11 \times 4 + 9 \times (-6) + 18 \times 5 = 80
\]