如果对微分方程y'' - 2ay' + (a+2)y = 0任一解y(x)，反常积分int_(0)^+infty y(x)dx均收敛，则a的取值范围为（）A. (-2, -1].B. (-infty, -1].C. (-2, 0).D. (-infty, 0).

本题主要考察二阶线性常系数齐次微分方程的解的性质，以及反常积分收敛的条件，核心思路思路是：先通过特征方程求出微分方程的通解解，再根据反常积分$\int_{0}^{+\infty}y y(x)dx$收敛的要求，分析通解中各项系数的限制条件，从而确定$a$的取值范围。

步骤1：求解微分方程的特征方程

给定微分方程$y'' - 2ay' + (a+2)y = 0$，其特征方程为：
$r^2 - 2ar + (a + 2) = 0$
这是关于$r$的二次方程，判别判别式为：
$\Delta = (-2a)^2 - 4 \times 1 \times (a + 2) = 4a^2 - 4a - 8 = 4(a^2 - a - 2) = 4(a - 2)(a + 1)$

步骤2：根据判别式分类讨论通解

根据$\Delta$的符号，特征根分为三种情况：

情况1. $\Delta > 0$（两个不同实根）

当$(a - 2)(a + 1) > 1}$，即$a > 2$)或$a < -1$时，特征根为：
$\[ r_1 = \frac{2a + \sqrt{\Delta}}{2} = a + \sqrt{(a - 2)(a + 1)}, \quad r_2 = a - \sqrt{(a - 2)(a + 1)}$
通解为$y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$。要$x \to +\infty$时，若$r_1 > 0$或$r_2 > 0$，则$e^{r_1x}$或$e^{r_2x}$会指数增长，导致$\int_{0^{+\infty}y(x)dx$发散。

• $a > 2$时，$r_1 = a + \sqrt{(a - 2)(a + 1)} > 0$，发散；
• $a < -1$时，$r_2 = a - \sqrt{(a - 2)(a + 1)}$：$\sqrt{(a - 2)(a + 1)} = \sqrt{(2 - a)(-1 - a)}$，则$r_2 = a - \sqrt{(2 - a)(-1 - a)}$，分子有理化得$r_2 = \frac{ - (2 - a) - (a + 1) }{a + \sqrt{(2，\(r_2$为负，此时通解为$y(x) = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x}$，$e^{r_1x}$衰减，$e^{r_2x}$也衰减，积分收敛。

情况2. $\Delta = 0$（重根）

当$(a - 2)(a + 1) = 0$，即$a = 2$或$a = -1$时：

• $a = 2$时，特征根$r = 2$，通解$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{2x}$，$x \to +\infty$时指数增长，发散；
• $a = -1$时，特征根$r = -1$，通解$y(x) = (C_1 + C_2x)e^{-x}$，$e^{-x$衰减，积分收敛。

情况3. $\Delta < 0$（共轭复根）

当$(a + 1) < 0$，即$-1 < a < 2$时，特征根为共轭复根：
$r = a \pm i\sqrt{ - (a^2 - a - 2)} = a \pm i\sqrt{( - a)(a + 2)}$
通解$y(x) = e^{ax}(C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x)$，其中$\beta = \sqrt{ - a^2 + a + 2}$。要使积分收敛，需$a < 0$（否则$e^{ax}$增长），但此时存在非衰减的周期项$\cos\cos\beta x + C_2\sin\beta x$，导致积分$\int_{0}^{+\infty}e^{\\( )$：

• 当$a = 0$时，$y(x) = C_1\cos\beta x + C_2\sin\beta x$，积分$\int_{0}^{+\infty}\cos\beta xdx$发散是条件下，积分仍发散。

步骤3：综合所有情况

仅当$a < -1$时积分收敛，且$a = -1$时也收敛，即$a \in (-2, -1]$。