[题目]曲线 =dfrac ({e)^x+(e)^x}(2) 与直线 x=0, =t(tgt 0) 及-|||-y=0 围成一曲边梯形.该曲边梯形绕x轴旋转一周得-|||-一旋转体,其体积为V(t),侧面积为s((t),在 x=t 处-|||-的底面积为F(t)-|||-(1)求 dfrac (S(t))(V(t)) 的值;-|||-(Ⅱ)计算极限 lim _(xarrow +infty )dfrac (sin (t))(F(t)).

步骤 1：计算侧面积 $S(t)$
侧面积 $S(t)$ 可以通过旋转体的侧面积公式计算，即 $S(t)=2\pi {\int }_{0}^{t}\sqrt {1+{y'}^{2}}dx$。其中，$y'=\dfrac {{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}$，因此 $S(t)=2\pi {\int }_{0}^{t}\sqrt {1+\left(\dfrac {{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}\right)^{2}}dx$。
步骤 2：计算体积 $V(t)$
体积 $V(t)$ 可以通过旋转体的体积公式计算，即 $V(t)=\pi {\int }_{0}^{t}{y}^{2}dx$。其中，$y=\dfrac {{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}$，因此 $V(t)=\pi {\int }_{0}^{t}\left(\dfrac {{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}\right)^{2}dx$。
步骤 3：计算 $\dfrac {S(t)}{V(t)}$
将 $S(t)$ 和 $V(t)$ 的表达式代入 $\dfrac {S(t)}{V(t)}$ 中，得到 $\dfrac {S(t)}{V(t)}=\dfrac {2\pi {\int }_{0}^{t}\sqrt {1+\left(\dfrac {{e}^{x}-{e}^{-x}}{2}\right)^{2}}dx}{\pi {\int }_{0}^{t}\left(\dfrac {{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}\right)^{2}dx}$。
步骤 4：计算极限 $\lim _{t\rightarrow +\infty }\dfrac {S(t)}{F(t)}$
在 $x=t$ 处的底面积为 $F(t)=\pi {{r}_{t}}^{2}{|}_{x=t}=\pi {(\dfrac {{e}^{t}+{e}^{-t}}{2})}^{2}$。因此，$\lim _{t\rightarrow +\infty }\dfrac {S(t)}{F(t)}=\lim _{t\rightarrow +\infty }\dfrac {2\pi {\int }_{0}^{t}\left(\dfrac {{e}^{x}+{e}^{-x}}{2}\right)^{2}dx}{\pi {(\dfrac {{e}^{t}+{e}^{-t}}{2})}^{2}}$。