【计算题】设 A , B , C 是三个事件,且 P ( A )= P ( B )= P ( C )=1/4 , P ( A B )= P ( BC )=0. P ( AC )=1/8 ,求 A , B , C 至少有一个发生的概率

考查要点：本题主要考查三个事件并集的概率计算，涉及互斥事件的性质及容斥原理的应用。

解题核心思路：

1. 明确事件之间的关系：题目中给出$P(AB)=0$和$P(BC)=0$，说明事件$A$与$B$互斥，事件$B$与$C$互斥，但$A$与$C$可能存在交集（$P(AC)=\frac{1}{8}$）。
2. 利用容斥原理公式：
   $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AB) - P(AC) - P(BC) + P(ABC)$
3. 关键简化：由于$A$与$B$互斥、$B$与$C$互斥，可推导出$P(ABC)=0$，从而简化计算。

步骤1：代入已知条件
根据题意，已知：
$\begin{aligned}P(A) = P(B) = P(C) &= \frac{1}{4}, \\P(AB) = P(BC) &= 0, \\P(AC) &= \frac{1}{8}.\end{aligned}$

步骤2：分析$P(ABC)$

• 由于$A$与$B$互斥（$P(AB)=0$），因此$ABC$是不可能事件，即$P(ABC)=0$。
• 同理，$B$与$C$互斥也进一步支持$P(ABC)=0$。

步骤3：代入容斥原理公式
将已知值代入公式：
$\begin{aligned}P(A \cup B \cup C) &= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 0 - \frac{1}{8} - 0 + 0 \\&= \frac{3}{4} - \frac{1}{8} \\&= \frac{6}{8} - \frac{1}{8} \\&= \frac{5}{8}.\end{aligned}$