题目
7、设f(u)是关于u的奇函数，D是由y=-x³，y=1，x=1所围成的平面闭区域，则二重积分iintlimits_(D)[x^3+f(xy)]dxdy=（）. (A.)0; (B.)(2)/(7); (C.)(1)/(4); (D)iintlimits_(D.)f(xy)dxdy.
7、设f(u)是关于u的奇函数，D是由y=-x³，y=1，x=1所围成的平面闭区域，则二重积分$\iint\limits_{D}$[$x^{3}$+f(xy)]dxdy=（）. (
A.)0; (
B.)$\frac{2}{7}$; (
C.)$\frac{1}{4}$; (D)$\iint\limits_{
D.}f(xy)dxdy$.
A.)0; (
B.)$\frac{2}{7}$; (
C.)$\frac{1}{4}$; (D)$\iint\limits_{
D.}f(xy)dxdy$.
题目解答
答案
将积分区域 $D$ 分为 $x \geq 0$ 和 $x \leq 0$ 两部分。
1. **计算 $x^3$ 的积分**：
$x^3$ 是关于 $x$ 的奇函数，但区域不对称。
\[
\iint\limits_{D} x^3 \, dx \, dy = \int_{-1}^{1} \int_{-x^3}^{1} x^3 \, dy \, dx = \frac{2}{7}.
\]
2. **计算 $f(xy)$ 的积分**：
$f(xy)$ 是关于 $xy$ 的奇函数，利用奇函数性质，
\[
\iint\limits_{D} f(xy) \, dx \, dy = 0.
\]
3. **总积分**：
\[
\iint\limits_{D} [x^3 + f(xy)] \, dx \, dy = \frac{2}{7} + 0 = \frac{2}{7}.
\]
答案：$\boxed{B}$。
解析
步骤 1：计算 $x^3$ 的积分
$x^3$ 是关于 $x$ 的奇函数，但积分区域 $D$ 不对称。因此，我们直接计算 $x^3$ 在 $D$ 上的二重积分。
\[ \iint\limits_{D} x^3 \, dx \, dy = \int_{-1}^{1} \int_{-x^3}^{1} x^3 \, dy \, dx. \]
步骤 2：计算 $f(xy)$ 的积分
$f(xy)$ 是关于 $xy$ 的奇函数，利用奇函数的性质，$f(xy)$ 在对称区域上的积分为零。
\[ \iint\limits_{D} f(xy) \, dx \, dy = 0. \]
步骤 3：总积分
将 $x^3$ 和 $f(xy)$ 的积分结果相加，得到总积分。
\[ \iint\limits_{D} [x^3 + f(xy)] \, dx \, dy = \frac{2}{7} + 0 = \frac{2}{7}. \]
$x^3$ 是关于 $x$ 的奇函数，但积分区域 $D$ 不对称。因此，我们直接计算 $x^3$ 在 $D$ 上的二重积分。
\[ \iint\limits_{D} x^3 \, dx \, dy = \int_{-1}^{1} \int_{-x^3}^{1} x^3 \, dy \, dx. \]
步骤 2：计算 $f(xy)$ 的积分
$f(xy)$ 是关于 $xy$ 的奇函数，利用奇函数的性质，$f(xy)$ 在对称区域上的积分为零。
\[ \iint\limits_{D} f(xy) \, dx \, dy = 0. \]
步骤 3：总积分
将 $x^3$ 和 $f(xy)$ 的积分结果相加，得到总积分。
\[ \iint\limits_{D} [x^3 + f(xy)] \, dx \, dy = \frac{2}{7} + 0 = \frac{2}{7}. \]