4. int (x+5)/(sqrt (x^2)-6x+13)dx= ___.

本题考查不定积分的计算，解题思路是先对被积函数分母进行配方，然后通过换元法将积分化简，再分别对化简后的两个积分进行计算，最后将结果代回原变量。

1. 对分母进行配方：
   对于分母$x^{2}-6x + 13$，根据完全平方公式$(a - b)^2=a^2 - 2ab + b^2$，可将其变形为$x^{2}-6x + 9 + 4=(x - 3)^{2}+4$，则原积分变为$\int \frac{x + 5}{\sqrt{(x - 3)^{2}+4}}dx$。
2. 换元：
   令$u = x - 3$，则$x = u + 3$，$du = dx$。将其代入上式可得：
   $\int \frac{u + 3 + 5}{\sqrt{u^{2}+4}}du=\int \frac{u + 8}{\sqrt{u^{2}+4}}du$
   根据积分的加法法则$\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$，进一步将上式拆分为$\int \frac{u}{\sqrt{u^{2}+4}}du+\int \frac{8}{\sqrt{u^{2}+4}}du$。
3. 计算$\int \frac{u}{\sqrt{u^{2}+4}}du$：
   令$v = u^{2}+4$，则$dv = 2udu$，即$udu=\frac{1}{2}dv$。
   将其代入$\int \frac{u}{\sqrt{u^{2}+4}}du$可得：
   $\int \frac{u}{\sqrt{u^{2}+4}}du=\int \frac{1}{\sqrt{v}}\cdot\frac{1}{2}dv=\frac{1}{2}\int v^{-\frac{1}{2}}dv$
   根据幂函数积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得：
   $\frac{1}{2}\int v^{-\frac{1}{2}}dv=\frac{1}{2}\cdot\frac{v^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+C_1=\sqrt{v}+C_1$
   再将$v = u^{2}+4$代回，得到$\sqrt{u^{2}+4}+C_1$。
4. 计算$\int \frac{8}{\sqrt{u^{2}+4}}du$：
   根据积分公式$\int \frac{1}{\sqrt{u^{2}+a^{2}}}du=\ln|u+\sqrt{u^{2}+a^{2}}|+C$（其中$a = 2$），可得：
   $\int \frac{8}{\sqrt{u^{2}+4}}du=8\int \frac{1}{\sqrt{u^{2}+2^{2}}}du=8\ln|u+\sqrt{u^{2}+4}|+C_2$
5. 合并结果：
   将上述两个积分的结果相加，可得：
   $\int \frac{u + 8}{\sqrt{u^{2}+4}}du=\sqrt{u^{2}+4}+8\ln|u+\sqrt{u^{2}+4}|+C$（$C = C_1 + C_2$）
6. 代回原变量：
   将$u = x - 3$代回上式，得到：
   $\sqrt{(x - 3)^{2}+4}+8\ln|x - 3+\sqrt{(x - 3)^{2}+4}|+C=\sqrt{x^{2}-6x + 13}+8\ln|x - 3+\sqrt{x^{2}-6x + 13}|+C$